Номер 870, страница 264 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

870. 1) $\log_8 (x^2 - 4x + 3) < 1;$

2) $\log_6 (x^2 - 3x + 2) \geq 1;$

3) $\log_3 (x^2 + 2x) > 1;$

4) $\log_{\frac{2}{3}} (x^2 - 2,5x) < -1.$

1) $\log_8(x^2 - 4x + 3) < 1$

Данное логарифмическое неравенство равносильно системе неравенств. Так как основание логарифма $8 > 1$, знак неравенства сохраняется.

$ \begin{cases} x^2 - 4x + 3 > 0 \\ x^2 - 4x + 3 < 8^1 \end{cases} $

Решим первое неравенство: $x^2 - 4x + 3 > 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - 4x + 3 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$, $x_2 = 3$.
Так как ветви параболы $y = x^2 - 4x + 3$ направлены вверх, неравенство выполняется при $x \in (-\infty; 1) \cup (3; +\infty)$.

Решим второе неравенство: $x^2 - 4x + 3 < 8$.
$x^2 - 4x - 5 < 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - 4x - 5 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -1$, $x_2 = 5$.
Так как ветви параболы $y = x^2 - 4x - 5$ направлены вверх, неравенство выполняется при $x \in (-1; 5)$.

Теперь найдем пересечение решений двух неравенств: $(-\infty; 1) \cup (3; +\infty)$ и $(-1; 5)$.
Пересечением является объединение интервалов $(-1; 1)$ и $(3; 5)$.

Ответ: $x \in (-1; 1) \cup (3; 5)$.

2) $\log_6(x^2 - 3x + 2) \geq 1$

Так как основание логарифма $6 > 1$, знак неравенства сохраняется. Неравенство равносильно системе:

$ \begin{cases} x^2 - 3x + 2 > 0 \\ x^2 - 3x + 2 \geq 6^1 \end{cases} $

Заметим, что если выполняется второе неравенство $x^2 - 3x + 2 \geq 6$, то первое неравенство $x^2 - 3x + 2 > 0$ выполняется автоматически. Поэтому достаточно решить только второе неравенство.

$x^2 - 3x + 2 \geq 6$
$x^2 - 3x - 4 \geq 0$
Найдем корни уравнения $x^2 - 3x - 4 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -1$, $x_2 = 4$.
Ветви параболы $y = x^2 - 3x - 4$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется при $x \in (-\infty; -1] \cup [4; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1] \cup [4; +\infty)$.

3) $\log_3(x^2 + 2x) > 1$

Так как основание логарифма $3 > 1$, знак неравенства сохраняется. Неравенство равносильно системе:

$ \begin{cases} x^2 + 2x > 0 \\ x^2 + 2x > 3^1 \end{cases} $

Если выполняется второе неравенство $x^2 + 2x > 3$, то первое неравенство $x^2 + 2x > 0$ выполняется автоматически. Решаем второе неравенство.

$x^2 + 2x - 3 > 0$
Найдем корни уравнения $x^2 + 2x - 3 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -3$, $x_2 = 1$.
Ветви параболы $y = x^2 + 2x - 3$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется при $x \in (-\infty; -3) \cup (1; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (1; +\infty)$.

4) $\log_{\frac{2}{3}}(x^2 - 2,5x) < -1$

Так как основание логарифма $0 < \frac{2}{3} < 1$, знак неравенства меняется на противоположный. Неравенство равносильно системе:

$ \begin{cases} x^2 - 2,5x > 0 \\ x^2 - 2,5x > (\frac{2}{3})^{-1} \end{cases} $

Упростим второе неравенство: $x^2 - 2,5x > \frac{3}{2}$, или $x^2 - 2,5x > 1,5$.
Если выполняется второе неравенство $x^2 - 2,5x > 1,5$, то первое неравенство $x^2 - 2,5x > 0$ выполняется автоматически. Решаем второе.

$x^2 - 2,5x - 1,5 > 0$
Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от дробей: $2x^2 - 5x - 3 > 0$.
Найдем корни уравнения $2x^2 - 5x - 3 = 0$.
Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 = 7^2$.
$x_1 = \frac{5 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -0,5$.
$x_2 = \frac{5 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3$.
Ветви параболы $y = 2x^2 - 5x - 3$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется при $x \in (-\infty; -0,5) \cup (3; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -0,5) \cup (3; +\infty)$.