Номер 865, страница 263 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

Решить неравенство (865–867).

865.

1) $\log_3 (x + 2) < 3;$

2) $\log_8 (4 - 2x) \geq 2;$

3) $\log_3 (x + 1) < -2;$

4) $\log_{1/3} (x - 1) \geq -2;$

5) $\log_{1/5} (4 - 3x) \geq -1;$

6) $\log_{2/3} (2 - 5x) < -2.$

1) $log_3 (x + 2) < 3$

Решение логарифмического неравенства состоит из двух частей: нахождения области допустимых значений (ОДЗ) и решения самого неравенства.

1. Найдём ОДЗ. Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:

$x + 2 > 0$

$x > -2$

2. Решим неравенство. Основание логарифма $3 > 1$, следовательно, логарифмическая функция $y = log_3(t)$ является возрастающей. Это значит, что при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства сохраняется. Представим правую часть неравенства в виде логарифма по основанию 3:

$3 = log_3(3^3) = log_3(27)$

Подставим это в исходное неравенство:

$log_3(x + 2) < log_3(27)$

Теперь можем убрать логарифмы, сохранив знак неравенства:

$x + 2 < 27$

$x < 25$

3. Объединим результат с ОДЗ. Решение должно удовлетворять обоим условиям: $x > -2$ и $x < 25$. Это можно записать в виде системы:

$\begin{cases} x > -2 \\ x < 25 \end{cases}$

Пересечением этих двух условий является интервал $(-2; 25)$.

Ответ: $(-2; 25)$

2) $log_8 (4 - 2x) \ge 2$

1. ОДЗ: $4 - 2x > 0 \implies 4 > 2x \implies 2 > x$, то есть $x < 2$.

2. Решение неравенства. Основание логарифма $8 > 1$, функция возрастающая, поэтому знак неравенства сохраняется. Представим $2$ в виде логарифма по основанию 8:

$2 = log_8(8^2) = log_8(64)$

Неравенство принимает вид:

$log_8(4 - 2x) \ge log_8(64)$

Переходим к аргументам:

$4 - 2x \ge 64$

$-2x \ge 60$

При делении на отрицательное число ($-2$) знак неравенства меняется на противоположный:

$x \le -30$

3. Объединение с ОДЗ. Получаем систему:

$\begin{cases} x < 2 \\ x \le -30 \end{cases}$

Пересечением этих условий является $x \le -30$.

Ответ: $(-\infty; -30]$

3) $log_3 (x + 1) < -2$

1. ОДЗ: $x + 1 > 0 \implies x > -1$.

2. Решение неравенства. Основание $3 > 1$, функция возрастающая, знак неравенства сохраняется. Представим $-2$ в виде логарифма по основанию 3:

$-2 = log_3(3^{-2}) = log_3(\frac{1}{9})$

Неравенство принимает вид:

$log_3(x + 1) < log_3(\frac{1}{9})$

$x + 1 < \frac{1}{9}$

$x < \frac{1}{9} - 1$

$x < -\frac{8}{9}$

3. Объединение с ОДЗ.

$\begin{cases} x > -1 \\ x < -\frac{8}{9} \end{cases}$

Так как $-1 < -\frac{8}{9}$, решением является интервал $(-1; -\frac{8}{9})$.

Ответ: $(-1; -\frac{8}{9})$

4) $log_{\frac{1}{3}} (x - 1) \ge -2$

1. ОДЗ: $x - 1 > 0 \implies x > 1$.

2. Решение неравенства. Основание логарифма $a = \frac{1}{3}$, и $0 < a < 1$. Следовательно, логарифмическая функция является убывающей. Это значит, что при переходе к аргументам знак неравенства необходимо изменить на противоположный. Представим $-2$ в виде логарифма по основанию $\frac{1}{3}$:

$-2 = log_{\frac{1}{3}}((\frac{1}{3})^{-2}) = log_{\frac{1}{3}}(3^2) = log_{\frac{1}{3}}(9)$

Неравенство принимает вид:

$log_{\frac{1}{3}}(x - 1) \ge log_{\frac{1}{3}}(9)$

Переходим к аргументам, меняя знак неравенства:

$x - 1 \le 9$

$x \le 10$

3. Объединение с ОДЗ.

$\begin{cases} x > 1 \\ x \le 10 \end{cases}$

Решением является полуинтервал $(1; 10]$.

Ответ: $(1; 10]$

5) $log_{\frac{1}{5}} (4 - 3x) \ge -1$

1. ОДЗ: $4 - 3x > 0 \implies 4 > 3x \implies x < \frac{4}{3}$.

2. Решение неравенства. Основание $a = \frac{1}{5}$, и $0 < a < 1$, функция убывающая, знак неравенства меняется. Представим $-1$ в виде логарифма по основанию $\frac{1}{5}$:

$-1 = log_{\frac{1}{5}}((\frac{1}{5})^{-1}) = log_{\frac{1}{5}}(5)$

Неравенство принимает вид:

$log_{\frac{1}{5}}(4 - 3x) \ge log_{\frac{1}{5}}(5)$

Переходим к аргументам, меняя знак:

$4 - 3x \le 5$

$-3x \le 1$

Делим на $-3$ и снова меняем знак неравенства:

$x \ge -\frac{1}{3}$

3. Объединение с ОДЗ.

$\begin{cases} x < \frac{4}{3} \\ x \ge -\frac{1}{3} \end{cases}$

Решением является полуинтервал $[-\frac{1}{3}; \frac{4}{3})$.

Ответ: $[-\frac{1}{3}; \frac{4}{3})$

6) $log_{\frac{2}{3}} (2 - 5x) < -2$

1. ОДЗ: $2 - 5x > 0 \implies 2 > 5x \implies x < \frac{2}{5}$.

2. Решение неравенства. Основание $a = \frac{2}{3}$, и $0 < a < 1$, функция убывающая, знак неравенства меняется. Представим $-2$ в виде логарифма по основанию $\frac{2}{3}$:

$-2 = log_{\frac{2}{3}}((\frac{2}{3})^{-2}) = log_{\frac{2}{3}}((\frac{3}{2})^2) = log_{\frac{2}{3}}(\frac{9}{4})$

Неравенство принимает вид:

$log_{\frac{2}{3}}(2 - 5x) < log_{\frac{2}{3}}(\frac{9}{4})$

Переходим к аргументам, меняя знак:

$2 - 5x > \frac{9}{4}$

$-5x > \frac{9}{4} - 2$

$-5x > \frac{9}{4} - \frac{8}{4}$

$-5x > \frac{1}{4}$

Делим на $-5$ и снова меняем знак неравенства:

$x < -\frac{1}{20}$

3. Объединение с ОДЗ.

$\begin{cases} x < \frac{2}{5} \\ x < -\frac{1}{20} \end{cases}$

Сравним $\frac{2}{5}$ и $-\frac{1}{20}$. $\frac{2}{5} = \frac{8}{20}$. Так как $-\frac{1}{20} < \frac{8}{20}$, то более сильным условием является $x < -\frac{1}{20}$.

Ответ: $(-\infty; -\frac{1}{20})$