Номер 860, страница 261 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

860. 1) $x^{\text{lg } 9} + 9^{\text{lg } x} = 6$

2) $x^{\log_2 \frac{x}{98}} \cdot 14^{\log_2 7} = 1$

1) $x^{\lg 9} + 9^{\lg x} = 6$

Область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения: $x > 0$.

Воспользуемся свойством логарифма $a^{\log_c b} = b^{\log_c a}$. В данном уравнении $\lg$ обозначает десятичный логарифм (логарифм по основанию 10).

Применим это свойство к первому слагаемому:

$x^{\lg 9} = x^{\log_{10} 9} = 9^{\log_{10} x} = 9^{\lg x}$

Теперь исходное уравнение можно переписать, заменив $x^{\lg 9}$ на $9^{\lg x}$:

$9^{\lg x} + 9^{\lg x} = 6$

$2 \cdot 9^{\lg x} = 6$

Разделим обе части уравнения на 2:

$9^{\lg x} = 3$

Представим число 9 как степень числа 3, то есть $9 = 3^2$:

$(3^2)^{\lg x} = 3^1$

По свойству степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:

$3^{2 \lg x} = 3^1$

Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$2 \lg x = 1$

$\lg x = \frac{1}{2}$

По определению десятичного логарифма, если $\log_{10} x = c$, то $x = 10^c$.

$x = 10^{\frac{1}{2}}$

$x = \sqrt{10}$

Полученный корень $x = \sqrt{10}$ удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $x = \sqrt{10}$.

2) $x^{\log_2 \frac{x}{98}} \cdot 14^{\log_2 7} = 1$

ОДЗ данного уравнения определяется условиями $x > 0$ и $\frac{x}{98} > 0$, что в совокупности дает $x > 0$.

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 2:

$\log_2 \left( x^{\log_2 \frac{x}{98}} \cdot 14^{\log_2 7} \right) = \log_2 1$

Используем свойства логарифмов: $\log_a(MN) = \log_a M + \log_a N$ и $\log_a(b^c) = c \log_a b$. Учтем, что $\log_2 1 = 0$.

$\log_2 \left( x^{\log_2 \frac{x}{98}} \right) + \log_2 \left( 14^{\log_2 7} \right) = 0$

$(\log_2 \frac{x}{98}) \cdot (\log_2 x) + (\log_2 7) \cdot (\log_2 14) = 0$

Преобразуем логарифмы в уравнении, используя их свойства:

$\log_2 \frac{x}{98} = \log_2 x - \log_2 98 = \log_2 x - \log_2 (2 \cdot 49) = \log_2 x - (\log_2 2 + \log_2 7^2) = \log_2 x - (1 + 2\log_2 7)$

$\log_2 14 = \log_2(2 \cdot 7) = \log_2 2 + \log_2 7 = 1 + \log_2 7$

Подставим преобразованные выражения обратно в уравнение:

$(\log_2 x - (1 + 2\log_2 7)) \cdot (\log_2 x) + (\log_2 7) \cdot (1 + \log_2 7) = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = \log_2 x$. Уравнение примет вид:

$(y - (1 + 2\log_2 7)) \cdot y + \log_2 7 \cdot (1 + \log_2 7) = 0$

Раскроем скобки и получим квадратное уравнение относительно $y$:

$y^2 - (1 + 2\log_2 7)y + (\log_2 7 + (\log_2 7)^2) = 0$

Это приведенное квадратное уравнение вида $y^2+py+q=0$. Его корни можно найти по теореме Виета. Сумма корней $y_1 + y_2 = -p = 1 + 2\log_2 7$, а произведение корней $y_1 y_2 = q = \log_2 7 + (\log_2 7)^2 = (\log_2 7)(1 + \log_2 7)$.

Подбором находим корни: $y_1 = \log_2 7$ и $y_2 = 1 + \log_2 7$.

Проверим:
Сумма: $y_1 + y_2 = \log_2 7 + (1 + \log_2 7) = 1 + 2\log_2 7$. Верно.
Произведение: $y_1 y_2 = (\log_2 7)(1 + \log_2 7)$. Верно.

Теперь выполним обратную замену для каждого корня.

Случай 1: $y_1 = \log_2 7$

$\log_2 x = \log_2 7 \implies x_1 = 7$

Случай 2: $y_2 = 1 + \log_2 7$

$\log_2 x = 1 + \log_2 7 = \log_2 2 + \log_2 7 = \log_2 (2 \cdot 7) = \log_2 14 \implies x_2 = 14$

Оба корня, $x_1 = 7$ и $x_2 = 14$, положительны и удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $7; 14$.