Номер 854, страница 261 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

854. 1) $\lg^2 (x + 1) = \lg (x + 1) \lg (x - 1) + 2 \lg^2 (x - 1);$

2) $2 \log_5 (4 - x) \cdot \log_{2x} (4 - x) = 3 \log_5 (4 - x) - \log_5 (2x).$

1) $\lg^2(x + 1) = \lg(x + 1)\lg(x - 1) + 2\lg^2(x - 1)$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$ \begin{cases} x + 1 > 0 \\ x - 1 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > -1 \\ x > 1 \end{cases} \Rightarrow x > 1 $

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$\lg^2(x + 1) - \lg(x + 1)\lg(x - 1) - 2\lg^2(x - 1) = 0$

Это уравнение является однородным квадратным уравнением относительно $\lg(x + 1)$ и $\lg(x - 1)$.

Сделаем замену переменных. Пусть $a = \lg(x + 1)$ и $b = \lg(x - 1)$.

Тогда уравнение принимает вид:

$a^2 - ab - 2b^2 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $a$. Разделим обе части на $b^2$ (это возможно, так как если $b = \lg(x - 1) = 0$, то $x-1=1$, $x=2$. В этом случае $\lg(x+1) = \lg(3) \neq 0$, то есть $a \neq 0$, и уравнение $a^2 = 0$ не выполняется. Следовательно, $b \neq 0$).

$(\frac{a}{b})^2 - (\frac{a}{b}) - 2 = 0$

Пусть $t = \frac{a}{b}$. Получаем уравнение $t^2 - t - 2 = 0$.

По теореме Виета, корни этого уравнения $t_1 = 2$ и $t_2 = -1$.

Вернемся к исходным переменным. Рассмотрим два случая:

Случай 1: $\frac{a}{b} = 2$, то есть $a = 2b$.

$\lg(x + 1) = 2\lg(x - 1)$

$\lg(x + 1) = \lg((x - 1)^2)$

$x + 1 = (x - 1)^2$

$x + 1 = x^2 - 2x + 1$

$x^2 - 3x = 0$

$x(x - 3) = 0$

Получаем корни $x_1 = 0$ и $x_2 = 3$.

Проверяем по ОДЗ ($x > 1$). Корень $x_1 = 0$ не удовлетворяет ОДЗ. Корень $x_2 = 3$ удовлетворяет ОДЗ.

Случай 2: $\frac{a}{b} = -1$, то есть $a = -b$.

$\lg(x + 1) = -\lg(x - 1)$

$\lg(x + 1) = \lg((x - 1)^{-1})$

$\lg(x + 1) = \lg(\frac{1}{x - 1})$

$x + 1 = \frac{1}{x - 1}$

$(x + 1)(x - 1) = 1$

$x^2 - 1 = 1$

$x^2 = 2$

Получаем корни $x_3 = \sqrt{2}$ и $x_4 = -\sqrt{2}$.

Проверяем по ОДЗ ($x > 1$). Корень $x_3 = \sqrt{2} \approx 1.414$ удовлетворяет ОДЗ. Корень $x_4 = -\sqrt{2}$ не удовлетворяет ОДЗ.

Таким образом, решениями уравнения являются $x = 3$ и $x = \sqrt{2}$.

Ответ: $3, \sqrt{2}$.

2) $2 \log_5(4 - x) \cdot \log_{2x}(4 - x) = 3 \log_5(4 - x) - \log_5(2x)$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$ \begin{cases} 4 - x > 0 \\ 2x > 0 \\ 2x \neq 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x < 4 \\ x > 0 \\ x \neq \frac{1}{2} \end{cases} \Rightarrow x \in (0; \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}; 4) $

Используем формулу перехода к новому основанию для логарифма $\log_{2x}(4 - x) = \frac{\log_5(4 - x)}{\log_5(2x)}$.

Подставим это в исходное уравнение:

$2 \log_5(4 - x) \cdot \frac{\log_5(4 - x)}{\log_5(2x)} = 3 \log_5(4 - x) - \log_5(2x)$

$\frac{2\log_5^2(4 - x)}{\log_5(2x)} = 3 \log_5(4 - x) - \log_5(2x)$

Сделаем замену: пусть $u = \log_5(4 - x)$ и $v = \log_5(2x)$. Из ОДЗ следует, что $2x \neq 1$, поэтому $v = \log_5(2x) \neq \log_5(1) = 0$.

Уравнение принимает вид:

$\frac{2u^2}{v} = 3u - v$

Домножим обе части на $v$ (так как $v \neq 0$):

$2u^2 = 3uv - v^2$

$2u^2 - 3uv + v^2 = 0$

Это однородное квадратное уравнение. Разделим обе части на $v^2$ (так как $v \neq 0$):

$2(\frac{u}{v})^2 - 3(\frac{u}{v}) + 1 = 0$

Пусть $t = \frac{u}{v}$. Получаем уравнение $2t^2 - 3t + 1 = 0$.

Найдем корни этого квадратного уравнения. Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$.

$t_1 = \frac{3 - 1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$t_2 = \frac{3 + 1}{4} = \frac{4}{4} = 1$

Вернемся к исходным переменным. Рассмотрим два случая:

Случай 1: $\frac{u}{v} = \frac{1}{2}$, то есть $2u = v$.

$2\log_5(4 - x) = \log_5(2x)$

$\log_5((4 - x)^2) = \log_5(2x)$

$(4 - x)^2 = 2x$

$16 - 8x + x^2 = 2x$

$x^2 - 10x + 16 = 0$

По теореме Виета, корни $x_1 = 2$ и $x_2 = 8$.

Проверяем по ОДЗ $x \in (0; \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}; 4)$. Корень $x_1 = 2$ удовлетворяет ОДЗ. Корень $x_2 = 8$ не удовлетворяет ОДЗ (так как $8 > 4$).

Случай 2: $\frac{u}{v} = 1$, то есть $u = v$.

$\log_5(4 - x) = \log_5(2x)$

$4 - x = 2x$

$3x = 4$

$x_3 = \frac{4}{3}$

Проверяем по ОДЗ $x \in (0; \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}; 4)$. Корень $x_3 = \frac{4}{3}$ удовлетворяет ОДЗ.

Таким образом, решениями уравнения являются $x = 2$ и $x = \frac{4}{3}$.

Ответ: $2, \frac{4}{3}$.