Номер 849, страница 260 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

849. Не решая уравнений, выяснить, равносильны ли они:

1) $2^{3x+1}=2^{-3}$ и $3x+1=-3;$

2) $\log_{3} (x-1)=2$ и $x-1=9;$

3) $\lg x^{2}=1$ и $2 \lg x=1;$

4) $\lg \sqrt{x}=2$ и $\frac{1}{2} \lg x=2.$

1) $2^{3x+1} = 2^{-3}$ и $3x+1 = -3$

Первое уравнение является показательным. Так как показательная функция $y=a^t$ (где $a > 0, a \neq 1$) является монотонной, равенство $a^{f(x)} = a^{g(x)}$ равносильно равенству показателей $f(x)=g(x)$. В данном случае основание $a=2$, поэтому уравнение $2^{3x+1} = 2^{-3}$ равносильно уравнению $3x+1 = -3$. Области допустимых значений (ОДЗ) для обоих уравнений совпадают (все действительные числа, $x \in \mathbb{R}$). Следовательно, уравнения являются равносильными.
Ответ: равносильны.

2) $\log_3 (x-1) = 2$ и $x-1=9$

Первое уравнение — логарифмическое. Его ОДЗ определяется условием положительности аргумента логарифма: $x-1 > 0$, то есть $x > 1$. Второе уравнение — линейное, его ОДЗ — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$).
Переход от уравнения $\log_3(x-1) = 2$ к уравнению $x-1 = 3^2$ (что то же самое, что $x-1=9$) выполняется по определению логарифма. Это преобразование (потенцирование) является равносильным, так как условие $x-1 > 0$ из ОДЗ первого уравнения автоматически выполняется для решения второго уравнения ($x-1=9$, а $9>0$). Таким образом, любое решение второго уравнения удовлетворяет ОДЗ первого, и наоборот, любое решение первого по определению логарифма является решением второго. Множества решений совпадают.
Ответ: равносильны.

3) $\lg x^2 = 1$ и $2 \lg x = 1$

Рассмотрим области допустимых значений (ОДЗ) уравнений.
Для первого уравнения $\lg x^2 = 1$ аргумент логарифма должен быть положителен: $x^2 > 0$, что выполняется для всех $x$, кроме $x=0$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; \infty)$.
Для второго уравнения $2 \lg x = 1$ аргумент логарифма должен быть положителен: $x > 0$. ОДЗ: $x \in (0; \infty)$.
Поскольку ОДЗ уравнений не совпадают, они не могут быть равносильными. Преобразование $\lg x^2 = 2 \lg x$ является сужением ОДЗ и приводит к потере корней (в данном случае, отрицательного корня). Правильным равносильным преобразованием для первого уравнения было бы $\lg x^2 = 2 \lg|x|$, что не совпадает со вторым уравнением.
Ответ: не равносильны.

4) $\lg \sqrt{x} = 2$ и $\frac{1}{2}\lg x = 2$

Рассмотрим ОДЗ уравнений.
Для первого уравнения $\lg \sqrt{x} = 2$ должны выполняться два условия: подкоренное выражение неотрицательно ($x \ge 0$) и аргумент логарифма положителен ($\sqrt{x} > 0$). Объединение этих условий дает $x > 0$.
Для второго уравнения $\frac{1}{2}\lg x = 2$ ОДЗ определяется условием $x > 0$.
ОДЗ обоих уравнений совпадают: $x \in (0; \infty)$.
На этой области допустимых значений справедливо тождество $\lg \sqrt{x} = \lg(x^{1/2}) = \frac{1}{2}\lg x$. Таким образом, левая часть первого уравнения тождественно равна левой части второго уравнения на их общей ОДЗ. Следовательно, уравнения равносильны.
Ответ: равносильны.