Номер 845, страница 260 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

845. Решить систему уравнений:

1) $ \begin{cases} \lg x - \lg y = 2, \\ x - 10y = 900; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} \log_3 x + \log_3 y = 2, \\ x^2 y - 2y + 9 = 0. \end{cases} $

1) Дана система уравнений:$$ \begin{cases} \lg x - \lg y = 2, \\ x - 10y = 900; \end{cases} $$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными: $x > 0$ и $y > 0$.

Преобразуем первое уравнение, используя свойство разности логарифмов $\lg a - \lg b = \lg(a/b)$:$$ \lg\frac{x}{y} = 2 $$

По определению десятичного логарифма ($ \lg a = b \iff a = 10^b $):$$ \frac{x}{y} = 10^2 $$$$ \frac{x}{y} = 100 $$Отсюда выразим $x$ через $y$:$$ x = 100y $$

Подставим полученное выражение для $x$ во второе уравнение системы:$$ (100y) - 10y = 900 $$

Решим полученное уравнение относительно $y$:$$ 90y = 900 $$$$ y = \frac{900}{90} $$$$ y = 10 $$

Найденное значение $y=10$ удовлетворяет ОДЗ ($y>0$).

Теперь найдем $x$, подставив значение $y$ в выражение $x = 100y$:$$ x = 100 \cdot 10 $$$$ x = 1000 $$

Значение $x=1000$ также удовлетворяет ОДЗ ($x>0$).

Проверим найденное решение $(1000, 10)$, подставив его в исходную систему:$$ \begin{cases} \lg 1000 - \lg 10 = 3 - 1 = 2, \\ 1000 - 10 \cdot 10 = 1000 - 100 = 900; \end{cases} $$Оба равенства верны.

Ответ: $(1000, 10)$.

2) Дана система уравнений:$$ \begin{cases} \log_3 x + \log_3 y = 2, \\ x^2y - 2y + 9 = 0. \end{cases} $$

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями $x > 0$ и $y > 0$.

Преобразуем первое уравнение, используя свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$:$$ \log_3(xy) = 2 $$

По определению логарифма ($ \log_a b = c \iff b = a^c $):$$ xy = 3^2 $$$$ xy = 9 $$

Выразим $y$ через $x$:$$ y = \frac{9}{x} $$(Так как из ОДЗ $x>0$, деление на $x$ возможно).

Подставим это выражение во второе уравнение системы:$$ x^2\left(\frac{9}{x}\right) - 2\left(\frac{9}{x}\right) + 9 = 0 $$

Упростим и решим полученное уравнение относительно $x$:$$ 9x - \frac{18}{x} + 9 = 0 $$Умножим все члены уравнения на $x$ (помним, что $x \neq 0$):$$ 9x^2 - 18 + 9x = 0 $$Разделим уравнение на 9 для упрощения:$$ x^2 + x - 2 = 0 $$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни по теореме Виета. Сумма корней равна $-1$, а произведение $-2$. Корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x > 0$).
Корень $x_1 = 1$ удовлетворяет условию $x > 0$.
Корень $x_2 = -2$ не удовлетворяет условию $x > 0$, поэтому является посторонним корнем.

Итак, единственное подходящее значение $x=1$. Найдем соответствующее значение $y$:$$ y = \frac{9}{x} = \frac{9}{1} = 9 $$

Значение $y=9$ удовлетворяет ОДЗ ($y>0$).

Проверим найденное решение $(1, 9)$, подставив его в исходную систему:$$ \begin{cases} \log_3 1 + \log_3 9 = 0 + 2 = 2, \\ 1^2 \cdot 9 - 2 \cdot 9 + 9 = 9 - 18 + 9 = 0. \end{cases} $$Оба равенства верны.

Ответ: $(1, 9)$.