Номер 840, страница 259 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

Решить уравнение (840–844).

840. 1) $\log_2 (x - 5) + \log_2 (x + 2) = 3;$

2) $\log_3 (x - 2) + \log_3 (x + 6) = 2;$

3) $\lg (x + \sqrt{3}) + \lg (x - \sqrt{3}) = 0;$

4) $\lg (x - 1) + \lg (x + 1) = 0.$

1) $log_2(x - 5) + log_2(x + 2) = 3$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$\begin{cases} x - 5 > 0 \\ x + 2 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 5 \\ x > -2 \end{cases}$

Пересечением этих условий является $x > 5$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (5, +\infty)$.

Воспользуемся свойством суммы логарифмов: $log_a(b) + log_a(c) = log_a(b \cdot c)$.

$log_2((x - 5)(x + 2)) = 3$

По определению логарифма ($log_a b = c \iff a^c = b$), преобразуем уравнение:

$(x - 5)(x + 2) = 2^3$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение:

$x^2 + 2x - 5x - 10 = 8$

$x^2 - 3x - 18 = 0$

Найдем корни по теореме Виета или через дискриминант. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 9 + 72 = 81$.

$x_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 9}{2} = 6$

$x_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 9}{2} = -3$

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x > 5$).

Корень $x_1 = 6$ удовлетворяет условию $6 > 5$.

Корень $x_2 = -3$ не удовлетворяет условию $-3 > 5$, следовательно, это посторонний корень.

Ответ: $6$.

2) $log_3(x - 2) + log_3(x + 6) = 2$

ОДЗ:

$\begin{cases} x - 2 > 0 \\ x + 6 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 2 \\ x > -6 \end{cases}$

Пересечение условий дает $x > 2$. ОДЗ: $x \in (2, +\infty)$.

Применяем свойство суммы логарифмов:

$log_3((x - 2)(x + 6)) = 2$

По определению логарифма:

$(x - 2)(x + 6) = 3^2$

$x^2 + 6x - 2x - 12 = 9$

$x^2 + 4x - 21 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100$.

$x_1 = \frac{-4 + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 10}{2} = 3$

$x_2 = \frac{-4 - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 10}{2} = -7$

Проверяем корни по ОДЗ ($x > 2$).

Корень $x_1 = 3$ удовлетворяет условию $3 > 2$.

Корень $x_2 = -7$ не удовлетворяет условию $-7 > 2$, это посторонний корень.

Ответ: $3$.

3) $lg(x + \sqrt{3}) + lg(x - \sqrt{3}) = 0$

ОДЗ (lg - это десятичный логарифм, $log_{10}$):

$\begin{cases} x + \sqrt{3} > 0 \\ x - \sqrt{3} > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -\sqrt{3} \\ x > \sqrt{3} \end{cases}$

Пересечение условий дает $x > \sqrt{3}$. ОДЗ: $x \in (\sqrt{3}, +\infty)$.

Применяем свойство суммы логарифмов и формулу разности квадратов:

$lg((x + \sqrt{3})(x - \sqrt{3})) = 0$

$lg(x^2 - (\sqrt{3})^2) = 0$

$lg(x^2 - 3) = 0$

По определению логарифма:

$x^2 - 3 = 10^0$

$x^2 - 3 = 1$

$x^2 = 4$

$x_1 = 2$, $x_2 = -2$.

Проверяем корни по ОДЗ ($x > \sqrt{3} \approx 1.732$).

Корень $x_1 = 2$ удовлетворяет условию $2 > \sqrt{3}$.

Корень $x_2 = -2$ не удовлетворяет условию $-2 > \sqrt{3}$, это посторонний корень.

Ответ: $2$.

4) $lg(x - 1) + lg(x + 1) = 0$

ОДЗ:

$\begin{cases} x - 1 > 0 \\ x + 1 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 1 \\ x > -1 \end{cases}$

Пересечение условий дает $x > 1$. ОДЗ: $x \in (1, +\infty)$.

Применяем свойство суммы логарифмов и формулу разности квадратов:

$lg((x - 1)(x + 1)) = 0$

$lg(x^2 - 1^2) = 0$

$lg(x^2 - 1) = 0$

По определению логарифма:

$x^2 - 1 = 10^0$

$x^2 - 1 = 1$

$x^2 = 2$

$x_1 = \sqrt{2}$, $x_2 = -\sqrt{2}$.

Проверяем корни по ОДЗ ($x > 1$).

Корень $x_1 = \sqrt{2}$ удовлетворяет условию $\sqrt{2} > 1$ (так как $2 > 1$).

Корень $x_2 = -\sqrt{2}$ не удовлетворяет условию $-\sqrt{2} > 1$, это посторонний корень.

Ответ: $\sqrt{2}$.