Номер 847, страница 260 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

847. 1) $\log_4 (((x+2)(x+3))) + \log_4 \frac{x-2}{x+3} = 2;$

2) $\log_2 \frac{x-1}{x+4} + \log_2 (((x-1)(x+4))) = 2;$

3) $\log_3 x^2 - \log_3 \frac{x}{x+6} = 3;$

4) $\log_2 \frac{x+4}{x} + \log_2 x^2 = 5.$

1) Исходное уравнение: $\log_4((x+2)(x+3)) + \log_4 \frac{x-2}{x+3} = 2$.
Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ), для которой оба аргумента логарифмов положительны:
1) $(x+2)(x+3) > 0 \implies x \in (-\infty, -3) \cup (-2, \infty)$.
2) $\frac{x-2}{x+3} > 0 \implies x \in (-\infty, -3) \cup (2, \infty)$.
Пересечением этих двух условий является ОДЗ: $x \in (-\infty, -3) \cup (2, \infty)$.

Теперь решим уравнение, используя свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$:
$\log_4 \left( (x+2)(x+3) \cdot \frac{x-2}{x+3} \right) = 2$
Сокращаем $(x+3)$ (это возможно, так как в ОДЗ $x \neq -3$):
$\log_4((x+2)(x-2)) = 2$
$\log_4(x^2 - 4) = 2$
Из определения логарифма следует:
$x^2 - 4 = 4^2$
$x^2 - 4 = 16$
$x^2 = 20$
$x = \pm \sqrt{20} = \pm 2\sqrt{5}$.

Проверим, входят ли корни в ОДЗ.
$\sqrt{5} \approx 2.236$.
$x_1 = 2\sqrt{5} \approx 4.472$. Этот корень принадлежит интервалу $(2, \infty)$, значит, он подходит.
$x_2 = -2\sqrt{5} \approx -4.472$. Этот корень принадлежит интервалу $(-\infty, -3)$, значит, он тоже подходит.
Оба корня являются решениями.
Ответ: $x = \pm 2\sqrt{5}$.

2) Исходное уравнение: $\log_2 \frac{x-1}{x+4} + \log_2((x-1)(x+4)) = 2$.
Найдем ОДЗ. Аргументы логарифмов должны быть положительны.
1) $\frac{x-1}{x+4} > 0$
2) $(x-1)(x+4) > 0$
Оба неравенства эквивалентны и выполняются, когда $x-1$ и $x+4$ одного знака. Это происходит при $x > 1$ или $x < -4$.
ОДЗ: $x \in (-\infty, -4) \cup (1, \infty)$.

Применяем свойство суммы логарифмов:
$\log_2 \left( \frac{x-1}{x+4} \cdot (x-1)(x+4) \right) = 2$
Сокращаем $(x+4)$:
$\log_2((x-1)^2) = 2$
По определению логарифма:
$(x-1)^2 = 2^2$
$(x-1)^2 = 4$
Извлекаем корень: $x-1 = \pm 2$.
Получаем два возможных решения:
$x_1 = 1 + 2 = 3$
$x_2 = 1 - 2 = -1$.

Проверяем корни по ОДЗ.
$x_1 = 3$ принадлежит интервалу $(1, \infty)$, значит, это верный корень.
$x_2 = -1$ не принадлежит ОДЗ $x \in (-\infty, -4) \cup (1, \infty)$, поэтому это посторонний корень.
Ответ: $x=3$.

3) Исходное уравнение: $\log_3 x^2 - \log_3 \frac{x}{x+6} = 3$.
Найдем ОДЗ:
1) $x^2 > 0 \implies x \neq 0$.
2) $\frac{x}{x+6} > 0 \implies x \in (-\infty, -6) \cup (0, \infty)$.
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \in (-\infty, -6) \cup (0, \infty)$.

Применяем свойство разности логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c}$:
$\log_3 \left( \frac{x^2}{\frac{x}{x+6}} \right) = 3$
Упрощаем выражение в аргументе:
$\log_3 \left(x^2 \cdot \frac{x+6}{x}\right) = 3$
$\log_3 (x(x+6)) = 3$
$\log_3 (x^2 + 6x) = 3$
По определению логарифма:
$x^2 + 6x = 3^3$
$x^2 + 6x = 27$
$x^2 + 6x - 27 = 0$
Решаем квадратное уравнение, например, разложением на множители:
$(x+9)(x-3) = 0$
$x_1 = -9$
$x_2 = 3$.

Проверяем корни по ОДЗ.
$x_1 = -9$ принадлежит интервалу $(-\infty, -6)$, значит, это верный корень.
$x_2 = 3$ принадлежит интервалу $(0, \infty)$, значит, это тоже верный корень.
Ответ: $x = -9; 3$.

4) Исходное уравнение: $\log_2 \frac{x+4}{x} + \log_2 x^2 = 5$.
Найдем ОДЗ:
1) $\frac{x+4}{x} > 0 \implies x \in (-\infty, -4) \cup (0, \infty)$.
2) $x^2 > 0 \implies x \neq 0$.
ОДЗ совпадает с первым условием: $x \in (-\infty, -4) \cup (0, \infty)$.

Применяем свойство суммы логарифмов:
$\log_2 \left( \frac{x+4}{x} \cdot x^2 \right) = 5$
Упрощаем выражение в аргументе:
$\log_2 ((x+4)x) = 5$
$\log_2 (x^2 + 4x) = 5$
По определению логарифма:
$x^2 + 4x = 2^5$
$x^2 + 4x = 32$
$x^2 + 4x - 32 = 0$
Решаем квадратное уравнение, разложив на множители:
$(x+8)(x-4) = 0$
$x_1 = -8$
$x_2 = 4$.

Проверяем корни по ОДЗ.
$x_1 = -8$ принадлежит интервалу $(-\infty, -4)$, значит, это верный корень.
$x_2 = 4$ принадлежит интервалу $(0, \infty)$, значит, это тоже верный корень.
Ответ: $x = -8; 4$.