Номер 852, страница 260 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

852. 1) $ \log_{x^2} 9 + \log_{\sqrt{x}} 4 = 2; $

2) $ \log_{x^2} 16 - \log_{\sqrt{x}} 7 = 2. $

1) $\log_{x^2} 9 + \log_{\sqrt{x}} 4 = 2$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Основание логарифма должно быть больше нуля и не равно единице.

Для $\log_{x^2} 9$: $x^2 > 0$ и $x^2 \neq 1$. Это означает, что $x \neq 0$ и $x \neq \pm 1$.

Для $\log_{\sqrt{x}} 4$: $\sqrt{x} > 0$ и $\sqrt{x} \neq 1$. Это означает, что $x > 0$ и $x \neq 1$.

Объединяя все условия, получаем ОДЗ: $x > 0$ и $x \neq 1$.

Теперь преобразуем логарифмы к одному основанию, например, к основанию $x$, используя свойство логарифма $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$.

$\log_{x^2} 9 = \log_{x^2} 3^2 = \frac{2}{2} \log_{|x|} 3$. Так как по ОДЗ $x>0$, то $|x|=x$, следовательно, $\log_{x^2} 9 = \log_x 3$.

$\log_{\sqrt{x}} 4 = \log_{x^{1/2}} 4 = \frac{1}{1/2} \log_x 4 = 2 \log_x 4$.

Подставим преобразованные выражения в исходное уравнение:

$\log_x 3 + 2 \log_x 4 = 2$

Используем свойства логарифмов $n \log_a b = \log_a b^n$ и $\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$:

$\log_x 3 + \log_x 4^2 = 2$

$\log_x 3 + \log_x 16 = 2$

$\log_x (3 \cdot 16) = 2$

$\log_x 48 = 2$

По определению логарифма ($ \log_a b = c \iff a^c = b $):

$x^2 = 48$

$x = \pm\sqrt{48} = \pm\sqrt{16 \cdot 3} = \pm 4\sqrt{3}$

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x > 0, x \neq 1$).

Корень $x = 4\sqrt{3}$ удовлетворяет ОДЗ.

Корень $x = -4\sqrt{3}$ не удовлетворяет ОДЗ, так как он отрицательный.

Следовательно, решением уравнения является $x = 4\sqrt{3}$.

Ответ: $4\sqrt{3}$

2) $\log_{x^2} 16 - \log_{\sqrt{x}} 7 = 2$

Область допустимых значений (ОДЗ) такая же, как и в первом уравнении: $x > 0$ и $x \neq 1$.

Преобразуем логарифмы к основанию $x$:

$\log_{x^2} 16 = \log_{x^2} 4^2 = \frac{2}{2} \log_{|x|} 4$. Так как $x > 0$, то $\log_{x^2} 16 = \log_x 4$.

$\log_{\sqrt{x}} 7 = \log_{x^{1/2}} 7 = \frac{1}{1/2} \log_x 7 = 2 \log_x 7$.

Подставим преобразованные выражения в уравнение:

$\log_x 4 - 2 \log_x 7 = 2$

Используем свойства логарифмов $n \log_a b = \log_a b^n$ и $\log_a b - \log_a c = \log_a(\frac{b}{c})$:

$\log_x 4 - \log_x 7^2 = 2$

$\log_x 4 - \log_x 49 = 2$

$\log_x \left(\frac{4}{49}\right) = 2$

По определению логарифма:

$x^2 = \frac{4}{49}$

$x = \pm\sqrt{\frac{4}{49}} = \pm \frac{2}{7}$

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x > 0, x \neq 1$).

Корень $x = \frac{2}{7}$ удовлетворяет ОДЗ.

Корень $x = -\frac{2}{7}$ не удовлетворяет ОДЗ, так как он отрицательный.

Следовательно, решением уравнения является $x = \frac{2}{7}$.

Ответ: $\frac{2}{7}$