Номер 855, страница 261 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

855. 1) $\sqrt{\log_x 25 + 3} = \frac{1}{\log_5 x}$;

2) $\sqrt{2 \log^2_2 x + 3 \log_2 x - 5} = \log_2 (2x).$

1) $\sqrt{\log_x 25 + 3} = \frac{1}{\log_5 x}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
1. Основание логарифма: $x > 0$ и $x \neq 1$.
2. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $\log_x 25 + 3 \ge 0$.
3. Знаменатель не должен быть равен нулю: $\log_5 x \neq 0$, что означает $x \neq 1$.
4. Правая часть уравнения, равная значению арифметического квадратного корня, должна быть неотрицательной: $\frac{1}{\log_5 x} \ge 0$. Так как числитель $1 > 0$, то и знаменатель должен быть положительным: $\log_5 x > 0$.
Из условия $\log_5 x > 0$ следует, что $\log_5 x > \log_5 1$. Так как основание логарифма $5 > 1$, то $x > 1$.
Если $x > 1$, то $\log_5 x > 0$, и условие $\log_x 25 + 3 \ge 0$ (которое можно записать как $\frac{2}{\log_5 x} + 3 \ge 0$) выполняется автоматически, так как оба слагаемых положительны.
Итак, ОДЗ: $x > 1$.

Преобразуем логарифм в левой части уравнения, используя формулу перехода к новому основанию: $\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$.
$\log_x 25 = \log_x 5^2 = 2 \log_x 5 = 2 \cdot \frac{1}{\log_5 x}$.
Подставим это в исходное уравнение:
$\sqrt{2 \cdot \frac{1}{\log_5 x} + 3} = \frac{1}{\log_5 x}$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \frac{1}{\log_5 x}$.
Из ОДЗ ($x > 1$) следует, что $\log_5 x > 0$, а значит $t > 0$.
Уравнение принимает вид:
$\sqrt{2t + 3} = t$.

Так как $t > 0$, обе части уравнения неотрицательны. Можем возвести обе части в квадрат:
$2t + 3 = t^2$
$t^2 - 2t - 3 = 0$
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета:
$t_1 + t_2 = 2$
$t_1 \cdot t_2 = -3$
Корни: $t_1 = 3$ и $t_2 = -1$.
Условию $t > 0$ удовлетворяет только корень $t = 3$.

Выполним обратную замену:
$\frac{1}{\log_5 x} = 3$
$\log_5 x = \frac{1}{3}$
$x = 5^{1/3}$
$x = \sqrt[3]{5}$.

Проверим, удовлетворяет ли корень ОДЗ ($x > 1$).
Так как $5 > 1$, то $\sqrt[3]{5} > 1$. Корень подходит.

Ответ: $x = \sqrt[3]{5}$.

2) $\sqrt{2\log_2^2 x + 3\log_2 x - 5} = \log_2 (2x)$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
1. Аргумент логарифма: $x > 0$.
2. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $2\log_2^2 x + 3\log_2 x - 5 \ge 0$.
3. Правая часть уравнения должна быть неотрицательной: $\log_2(2x) \ge 0$.
Из условия $\log_2(2x) \ge \log_2 1$ следует, что $2x \ge 1$, то есть $x \ge \frac{1}{2}$.
Рассмотрим неравенство $2\log_2^2 x + 3\log_2 x - 5 \ge 0$. Сделаем замену $y = \log_2 x$.
$2y^2 + 3y - 5 \ge 0$.
Найдем корни уравнения $2y^2 + 3y - 5 = 0$. Дискриминант $D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49 = 7^2$.
$y_1 = \frac{-3 - 7}{4} = -2.5$; $y_2 = \frac{-3 + 7}{4} = 1$.
Так как ветви параболы направлены вверх, неравенство выполняется при $y \le -2.5$ или $y \ge 1$.
Возвращаемся к $x$: $\log_2 x \le -2.5$ или $\log_2 x \ge 1$.
Отсюда $x \le 2^{-2.5}$ или $x \ge 2^1$. То есть $x \le \frac{1}{\sqrt{32}}$ или $x \ge 2$.
Объединим все условия ОДЗ: $x \ge \frac{1}{2}$ и ($x \le \frac{1}{\sqrt{32}}$ или $x \ge 2$).
Так как $\frac{1}{\sqrt{32}} < \frac{1}{2}$ (поскольку $\sqrt{32} > 2$), первая часть ($x \le \frac{1}{\sqrt{32}}$) несовместима с $x \ge \frac{1}{2}$.
Следовательно, итоговое ОДЗ: $x \ge 2$.

Преобразуем правую часть уравнения: $\log_2(2x) = \log_2 2 + \log_2 x = 1 + \log_2 x$.
Уравнение примет вид:
$\sqrt{2\log_2^2 x + 3\log_2 x - 5} = 1 + \log_2 x$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_2 x$.
Из ОДЗ ($x \ge 2$) следует, что $t = \log_2 x \ge \log_2 2 = 1$.
Уравнение принимает вид:
$\sqrt{2t^2 + 3t - 5} = 1 + t$.

Так как $t \ge 1$, обе части уравнения неотрицательны. Можем возвести обе части в квадрат:
$2t^2 + 3t - 5 = (1 + t)^2$
$2t^2 + 3t - 5 = 1 + 2t + t^2$
$t^2 + t - 6 = 0$.
По теореме Виета:
$t_1 + t_2 = -1$
$t_1 \cdot t_2 = -6$
Корни: $t_1 = 2$ и $t_2 = -3$.
Условию $t \ge 1$ удовлетворяет только корень $t = 2$.

Выполним обратную замену:
$\log_2 x = 2$
$x = 2^2$
$x = 4$.

Проверим, удовлетворяет ли корень ОДЗ ($x \ge 2$).
$4 \ge 2$. Корень подходит.

Ответ: $x=4$.