Страница 261 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

854. 1) $\lg^2 (x + 1) = \lg (x + 1) \lg (x - 1) + 2 \lg^2 (x - 1);$

2) $2 \log_5 (4 - x) \cdot \log_{2x} (4 - x) = 3 \log_5 (4 - x) - \log_5 (2x).$

1) $\lg^2(x + 1) = \lg(x + 1)\lg(x - 1) + 2\lg^2(x - 1)$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$ \begin{cases} x + 1 > 0 \\ x - 1 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > -1 \\ x > 1 \end{cases} \Rightarrow x > 1 $

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$\lg^2(x + 1) - \lg(x + 1)\lg(x - 1) - 2\lg^2(x - 1) = 0$

Это уравнение является однородным квадратным уравнением относительно $\lg(x + 1)$ и $\lg(x - 1)$.

Сделаем замену переменных. Пусть $a = \lg(x + 1)$ и $b = \lg(x - 1)$.

Тогда уравнение принимает вид:

$a^2 - ab - 2b^2 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $a$. Разделим обе части на $b^2$ (это возможно, так как если $b = \lg(x - 1) = 0$, то $x-1=1$, $x=2$. В этом случае $\lg(x+1) = \lg(3) \neq 0$, то есть $a \neq 0$, и уравнение $a^2 = 0$ не выполняется. Следовательно, $b \neq 0$).

$(\frac{a}{b})^2 - (\frac{a}{b}) - 2 = 0$

Пусть $t = \frac{a}{b}$. Получаем уравнение $t^2 - t - 2 = 0$.

По теореме Виета, корни этого уравнения $t_1 = 2$ и $t_2 = -1$.

Вернемся к исходным переменным. Рассмотрим два случая:

Случай 1: $\frac{a}{b} = 2$, то есть $a = 2b$.

$\lg(x + 1) = 2\lg(x - 1)$

$\lg(x + 1) = \lg((x - 1)^2)$

$x + 1 = (x - 1)^2$

$x + 1 = x^2 - 2x + 1$

$x^2 - 3x = 0$

$x(x - 3) = 0$

Получаем корни $x_1 = 0$ и $x_2 = 3$.

Проверяем по ОДЗ ($x > 1$). Корень $x_1 = 0$ не удовлетворяет ОДЗ. Корень $x_2 = 3$ удовлетворяет ОДЗ.

Случай 2: $\frac{a}{b} = -1$, то есть $a = -b$.

$\lg(x + 1) = -\lg(x - 1)$

$\lg(x + 1) = \lg((x - 1)^{-1})$

$\lg(x + 1) = \lg(\frac{1}{x - 1})$

$x + 1 = \frac{1}{x - 1}$

$(x + 1)(x - 1) = 1$

$x^2 - 1 = 1$

$x^2 = 2$

Получаем корни $x_3 = \sqrt{2}$ и $x_4 = -\sqrt{2}$.

Проверяем по ОДЗ ($x > 1$). Корень $x_3 = \sqrt{2} \approx 1.414$ удовлетворяет ОДЗ. Корень $x_4 = -\sqrt{2}$ не удовлетворяет ОДЗ.

Таким образом, решениями уравнения являются $x = 3$ и $x = \sqrt{2}$.

Ответ: $3, \sqrt{2}$.

2) $2 \log_5(4 - x) \cdot \log_{2x}(4 - x) = 3 \log_5(4 - x) - \log_5(2x)$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$ \begin{cases} 4 - x > 0 \\ 2x > 0 \\ 2x \neq 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x < 4 \\ x > 0 \\ x \neq \frac{1}{2} \end{cases} \Rightarrow x \in (0; \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}; 4) $

Используем формулу перехода к новому основанию для логарифма $\log_{2x}(4 - x) = \frac{\log_5(4 - x)}{\log_5(2x)}$.

Подставим это в исходное уравнение:

$2 \log_5(4 - x) \cdot \frac{\log_5(4 - x)}{\log_5(2x)} = 3 \log_5(4 - x) - \log_5(2x)$

$\frac{2\log_5^2(4 - x)}{\log_5(2x)} = 3 \log_5(4 - x) - \log_5(2x)$

Сделаем замену: пусть $u = \log_5(4 - x)$ и $v = \log_5(2x)$. Из ОДЗ следует, что $2x \neq 1$, поэтому $v = \log_5(2x) \neq \log_5(1) = 0$.

Уравнение принимает вид:

$\frac{2u^2}{v} = 3u - v$

Домножим обе части на $v$ (так как $v \neq 0$):

$2u^2 = 3uv - v^2$

$2u^2 - 3uv + v^2 = 0$

Это однородное квадратное уравнение. Разделим обе части на $v^2$ (так как $v \neq 0$):

$2(\frac{u}{v})^2 - 3(\frac{u}{v}) + 1 = 0$

Пусть $t = \frac{u}{v}$. Получаем уравнение $2t^2 - 3t + 1 = 0$.

Найдем корни этого квадратного уравнения. Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$.

$t_1 = \frac{3 - 1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$t_2 = \frac{3 + 1}{4} = \frac{4}{4} = 1$

Вернемся к исходным переменным. Рассмотрим два случая:

Случай 1: $\frac{u}{v} = \frac{1}{2}$, то есть $2u = v$.

$2\log_5(4 - x) = \log_5(2x)$

$\log_5((4 - x)^2) = \log_5(2x)$

$(4 - x)^2 = 2x$

$16 - 8x + x^2 = 2x$

$x^2 - 10x + 16 = 0$

По теореме Виета, корни $x_1 = 2$ и $x_2 = 8$.

Проверяем по ОДЗ $x \in (0; \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}; 4)$. Корень $x_1 = 2$ удовлетворяет ОДЗ. Корень $x_2 = 8$ не удовлетворяет ОДЗ (так как $8 > 4$).

Случай 2: $\frac{u}{v} = 1$, то есть $u = v$.

$\log_5(4 - x) = \log_5(2x)$

$4 - x = 2x$

$3x = 4$

$x_3 = \frac{4}{3}$

Проверяем по ОДЗ $x \in (0; \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}; 4)$. Корень $x_3 = \frac{4}{3}$ удовлетворяет ОДЗ.

Таким образом, решениями уравнения являются $x = 2$ и $x = \frac{4}{3}$.

Ответ: $2, \frac{4}{3}$.

855. 1) $\sqrt{\log_x 25 + 3} = \frac{1}{\log_5 x}$;

2) $\sqrt{2 \log^2_2 x + 3 \log_2 x - 5} = \log_2 (2x).$

1) $\sqrt{\log_x 25 + 3} = \frac{1}{\log_5 x}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
1. Основание логарифма: $x > 0$ и $x \neq 1$.
2. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $\log_x 25 + 3 \ge 0$.
3. Знаменатель не должен быть равен нулю: $\log_5 x \neq 0$, что означает $x \neq 1$.
4. Правая часть уравнения, равная значению арифметического квадратного корня, должна быть неотрицательной: $\frac{1}{\log_5 x} \ge 0$. Так как числитель $1 > 0$, то и знаменатель должен быть положительным: $\log_5 x > 0$.
Из условия $\log_5 x > 0$ следует, что $\log_5 x > \log_5 1$. Так как основание логарифма $5 > 1$, то $x > 1$.
Если $x > 1$, то $\log_5 x > 0$, и условие $\log_x 25 + 3 \ge 0$ (которое можно записать как $\frac{2}{\log_5 x} + 3 \ge 0$) выполняется автоматически, так как оба слагаемых положительны.
Итак, ОДЗ: $x > 1$.

Преобразуем логарифм в левой части уравнения, используя формулу перехода к новому основанию: $\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$.
$\log_x 25 = \log_x 5^2 = 2 \log_x 5 = 2 \cdot \frac{1}{\log_5 x}$.
Подставим это в исходное уравнение:
$\sqrt{2 \cdot \frac{1}{\log_5 x} + 3} = \frac{1}{\log_5 x}$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \frac{1}{\log_5 x}$.
Из ОДЗ ($x > 1$) следует, что $\log_5 x > 0$, а значит $t > 0$.
Уравнение принимает вид:
$\sqrt{2t + 3} = t$.

Так как $t > 0$, обе части уравнения неотрицательны. Можем возвести обе части в квадрат:
$2t + 3 = t^2$
$t^2 - 2t - 3 = 0$
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета:
$t_1 + t_2 = 2$
$t_1 \cdot t_2 = -3$
Корни: $t_1 = 3$ и $t_2 = -1$.
Условию $t > 0$ удовлетворяет только корень $t = 3$.

Выполним обратную замену:
$\frac{1}{\log_5 x} = 3$
$\log_5 x = \frac{1}{3}$
$x = 5^{1/3}$
$x = \sqrt[3]{5}$.

Проверим, удовлетворяет ли корень ОДЗ ($x > 1$).
Так как $5 > 1$, то $\sqrt[3]{5} > 1$. Корень подходит.

Ответ: $x = \sqrt[3]{5}$.

2) $\sqrt{2\log_2^2 x + 3\log_2 x - 5} = \log_2 (2x)$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
1. Аргумент логарифма: $x > 0$.
2. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $2\log_2^2 x + 3\log_2 x - 5 \ge 0$.
3. Правая часть уравнения должна быть неотрицательной: $\log_2(2x) \ge 0$.
Из условия $\log_2(2x) \ge \log_2 1$ следует, что $2x \ge 1$, то есть $x \ge \frac{1}{2}$.
Рассмотрим неравенство $2\log_2^2 x + 3\log_2 x - 5 \ge 0$. Сделаем замену $y = \log_2 x$.
$2y^2 + 3y - 5 \ge 0$.
Найдем корни уравнения $2y^2 + 3y - 5 = 0$. Дискриминант $D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49 = 7^2$.
$y_1 = \frac{-3 - 7}{4} = -2.5$; $y_2 = \frac{-3 + 7}{4} = 1$.
Так как ветви параболы направлены вверх, неравенство выполняется при $y \le -2.5$ или $y \ge 1$.
Возвращаемся к $x$: $\log_2 x \le -2.5$ или $\log_2 x \ge 1$.
Отсюда $x \le 2^{-2.5}$ или $x \ge 2^1$. То есть $x \le \frac{1}{\sqrt{32}}$ или $x \ge 2$.
Объединим все условия ОДЗ: $x \ge \frac{1}{2}$ и ($x \le \frac{1}{\sqrt{32}}$ или $x \ge 2$).
Так как $\frac{1}{\sqrt{32}} < \frac{1}{2}$ (поскольку $\sqrt{32} > 2$), первая часть ($x \le \frac{1}{\sqrt{32}}$) несовместима с $x \ge \frac{1}{2}$.
Следовательно, итоговое ОДЗ: $x \ge 2$.

Преобразуем правую часть уравнения: $\log_2(2x) = \log_2 2 + \log_2 x = 1 + \log_2 x$.
Уравнение примет вид:
$\sqrt{2\log_2^2 x + 3\log_2 x - 5} = 1 + \log_2 x$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_2 x$.
Из ОДЗ ($x \ge 2$) следует, что $t = \log_2 x \ge \log_2 2 = 1$.
Уравнение принимает вид:
$\sqrt{2t^2 + 3t - 5} = 1 + t$.

Так как $t \ge 1$, обе части уравнения неотрицательны. Можем возвести обе части в квадрат:
$2t^2 + 3t - 5 = (1 + t)^2$
$2t^2 + 3t - 5 = 1 + 2t + t^2$
$t^2 + t - 6 = 0$.
По теореме Виета:
$t_1 + t_2 = -1$
$t_1 \cdot t_2 = -6$
Корни: $t_1 = 2$ и $t_2 = -3$.
Условию $t \ge 1$ удовлетворяет только корень $t = 2$.

Выполним обратную замену:
$\log_2 x = 2$
$x = 2^2$
$x = 4$.

Проверим, удовлетворяет ли корень ОДЗ ($x \ge 2$).
$4 \ge 2$. Корень подходит.

Ответ: $x=4$.

856. $1 + \log_6 \frac{x+3}{x+7} = \frac{1}{4} \log_{\sqrt{6}} (x-1)^2$

Исходное уравнение:

$$ 1 + \log_6 \frac{x+3}{x+7} = \frac{1}{4} \log_{\sqrt{6}} (x-1)^2 $$

1. Нахождение Области Допустимых Значений (ОДЗ)

Для существования логарифмов их аргументы должны быть строго положительными, а основания должны быть положительными и не равными единице.

1. Для логарифма $\log_6 \frac{x+3}{x+7}$ аргумент должен быть больше нуля: $\frac{x+3}{x+7} > 0$. Решим это неравенство методом интервалов. Нули числителя и знаменателя: $x = -3$ и $x = -7$. Эти точки разбивают числовую прямую на интервалы. Дробь положительна, когда числитель и знаменатель имеют одинаковый знак. Это выполняется при $x \in (-\infty, -7) \cup (-3, +\infty)$.

2. Для логарифма $\log_{\sqrt{6}} (x-1)^2$ аргумент должен быть больше нуля: $(x-1)^2 > 0$. Это неравенство выполняется для всех действительных чисел $x$, кроме $x-1=0$, то есть $x \neq 1$.

Объединяя все условия, получаем ОДЗ: $x \in (-\infty, -7) \cup (-3, 1) \cup (1, +\infty)$.

2. Преобразование уравнения

Приведем логарифмы в обеих частях уравнения к одному основанию 6.

Сначала преобразуем правую часть. Используем формулу перехода к новому основанию $\log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b}$ и свойство логарифма $\log_{b^k} a = \frac{1}{k} \log_b a$. Основание $\sqrt{6} = 6^{1/2}$.

$\log_{\sqrt{6}} (x-1)^2 = \log_{6^{1/2}} (x-1)^2 = \frac{1}{1/2} \log_6 (x-1)^2 = 2 \log_6 (x-1)^2$.

Тогда вся правая часть равна:

$\frac{1}{4} \cdot \left(2 \log_6 (x-1)^2\right) = \frac{1}{2} \log_6 (x-1)^2$.

Используя свойство $n \log_b a = \log_b a^n$ и тождество $\sqrt{y^2} = |y|$, получаем:

$\frac{1}{2} \log_6 (x-1)^2 = \log_6 \left((x-1)^2\right)^{1/2} = \log_6 |x-1|$.

Теперь преобразуем левую часть. Представим 1 как логарифм по основанию 6: $1 = \log_6 6$.

$1 + \log_6 \frac{x+3}{x+7} = \log_6 6 + \log_6 \frac{x+3}{x+7}$.

Используя свойство суммы логарифмов $\log_b a + \log_b c = \log_b(ac)$:

$\log_6 6 + \log_6 \frac{x+3}{x+7} = \log_6 \left(6 \cdot \frac{x+3}{x+7}\right) = \log_6 \frac{6(x+3)}{x+7}$.

Теперь исходное уравнение можно записать в виде:

$$ \log_6 \frac{6(x+3)}{x+7} = \log_6 |x-1| $$

Так как основания логарифмов равны, мы можем приравнять их аргументы:

$$ \frac{6(x+3)}{x+7} = |x-1| $$

3. Решение уравнения

Полученное уравнение с модулем необходимо решить, рассмотрев два случая.

Случай 1: $x-1 > 0$, то есть $x > 1$.

В этом случае $|x-1| = x-1$. Уравнение принимает вид:

$\frac{6(x+3)}{x+7} = x-1$

Умножим обе части на $(x+7)$, так как в рассматриваемом случае $x > 1$, то $x+7 \neq 0$:

$6(x+3) = (x-1)(x+7)$

$6x + 18 = x^2 + 7x - x - 7$

$6x + 18 = x^2 + 6x - 7$

$x^2 = 25$

Отсюда получаем два корня: $x_1 = 5$ и $x_2 = -5$.

Проверяем соответствие условию $x > 1$. Корень $x_1 = 5$ удовлетворяет этому условию. Корень $x_2 = -5$ не удовлетворяет. Проверяем корень $x=5$ по ОДЗ: $5 \in (1, +\infty)$, что является верным. Следовательно, $x=5$ — корень уравнения.

Случай 2: $x-1 < 0$, то есть $x < 1$.

В этом случае $|x-1| = -(x-1) = 1-x$. Уравнение принимает вид:

$\frac{6(x+3)}{x+7} = 1-x$

Умножим обе части на $(x+7)$, так как $x=-7$ не является решением этого уравнения (знаменатель обращается в ноль):

$6(x+3) = (1-x)(x+7)$

$6x + 18 = x + 7 - x^2 - 7x$

$6x + 18 = -x^2 - 6x + 7$

$x^2 + 12x + 11 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна -12, а их произведение равно 11. Корни:

$x_3 = -1$ и $x_4 = -11$.

Оба корня удовлетворяют условию $x < 1$. Проверим их по ОДЗ: $x \in (-\infty, -7) \cup (-3, 1) \cup (1, +\infty)$.

• Корень $x_3 = -1$ попадает в интервал $(-3, 1)$, следовательно, удовлетворяет ОДЗ.
• Корень $x_4 = -11$ попадает в интервал $(-\infty, -7)$, следовательно, также удовлетворяет ОДЗ.

Таким образом, $x=-1$ и $x=-11$ являются решениями уравнения.

Объединив результаты обоих случаев, мы получили три решения.

Ответ: $-11; -1; 5$.

857. 1) $log_2 x + log_x 4 = 3;$

2) $log_{2x-1} (2x - 3) = log_{2x-3} (2x - 1).$

1) $ \log_2 x + \log_x 4 = 3 $

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля, а основание логарифма должно быть строго больше нуля и не равно единице.
Из $ \log_2 x $ следует, что $ x > 0 $.
Из $ \log_x 4 $ следует, что $ x > 0 $ и $ x \neq 1 $.
Таким образом, ОДЗ: $ x > 0, x \neq 1 $.

Воспользуемся формулой перехода к новому основанию для второго слагаемого: $ \log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b} $. Приведем $ \log_x 4 $ к основанию 2:
$ \log_x 4 = \frac{\log_2 4}{\log_2 x} = \frac{2}{\log_2 x} $

Подставим это выражение в исходное уравнение:
$ \log_2 x + \frac{2}{\log_2 x} = 3 $

Сделаем замену переменной. Пусть $ t = \log_2 x $. Так как $ x \neq 1 $, то $ t \neq \log_2 1 = 0 $.
Уравнение принимает вид:
$ t + \frac{2}{t} = 3 $

Умножим обе части уравнения на $ t $ (так как $ t \neq 0 $):
$ t^2 + 2 = 3t $
$ t^2 - 3t + 2 = 0 $

Это квадратное уравнение. Найдем его корни по теореме Виета или через дискриминант.
Корни уравнения: $ t_1 = 1 $ и $ t_2 = 2 $.

Теперь выполним обратную замену:
1. Если $ t = 1 $, то $ \log_2 x = 1 $, откуда $ x = 2^1 = 2 $.
2. Если $ t = 2 $, то $ \log_2 x = 2 $, откуда $ x = 2^2 = 4 $.

Оба корня ($ x=2 $ и $ x=4 $) удовлетворяют ОДЗ ($ x > 0, x \neq 1 $).

Ответ: $ 2; 4 $.

2) $ \log_{2x-1} (2x-3) = \log_{2x-3} (2x-1) $

Определим ОДЗ. Основания и аргументы логарифмов должны быть положительными, а основания не должны равняться единице.
$ \begin{cases} 2x-1 > 0 \\ 2x-1 \neq 1 \\ 2x-3 > 0 \\ 2x-3 \neq 1 \end{cases} $

Решим систему неравенств:
$ \begin{cases} x > 1/2 \\ 2x \neq 2 \implies x \neq 1 \\ x > 3/2 \\ 2x \neq 4 \implies x \neq 2 \end{cases} $

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $ x > 3/2 $ и $ x \neq 2 $, что можно записать в виде $ x \in (3/2; 2) \cup (2; +\infty) $.

Воспользуемся свойством логарифмов $ \log_b a = \frac{1}{\log_a b} $.
Уравнение можно переписать в виде:
$ \log_{2x-1} (2x-3) = \frac{1}{\log_{2x-1} (2x-3)} $

Сделаем замену. Пусть $ y = \log_{2x-1} (2x-3) $. Уравнение примет вид:
$ y = \frac{1}{y} $
$ y^2 = 1 $
Отсюда $ y = 1 $ или $ y = -1 $.

Рассмотрим оба случая:
Случай 1: $ y = 1 $
$ \log_{2x-1} (2x-3) = 1 $
По определению логарифма, основание равно аргументу:
$ 2x-1 = 2x-3 $
$ -1 = -3 $
Это неверное равенство, следовательно, в этом случае решений нет.

Случай 2: $ y = -1 $
$ \log_{2x-1} (2x-3) = -1 $
По определению логарифма:
$ 2x-3 = (2x-1)^{-1} $
$ 2x-3 = \frac{1}{2x-1} $
$ (2x-3)(2x-1) = 1 $
$ 4x^2 - 2x - 6x + 3 = 1 $
$ 4x^2 - 8x + 2 = 0 $
$ 2x^2 - 4x + 1 = 0 $

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант:
$ D = (-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 16 - 8 = 8 $
$ x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{4} = \frac{2(2 \pm \sqrt{2})}{4} = \frac{2 \pm \sqrt{2}}{2} $
Получаем два корня: $ x_1 = \frac{2 + \sqrt{2}}{2} = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} $ и $ x_2 = \frac{2 - \sqrt{2}}{2} = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($ x > 3/2 $).
Для $ x_1 = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} $: $ \sqrt{2} \approx 1.414 $, значит $ x_1 \approx 1 + 0.707 = 1.707 $. Это значение больше, чем $ 3/2 = 1.5 $, и не равно 2. Корень подходит.
Для $ x_2 = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} $: $ x_2 \approx 1 - 0.707 = 0.293 $. Это значение меньше, чем $ 1.5 $. Корень не подходит.

Единственный корень, удовлетворяющий ОДЗ, это $ x = \frac{2 + \sqrt{2}}{2} $.

Ответ: $ \frac{2 + \sqrt{2}}{2} $.

858. $\log_2 (2^x + 1) \log_2 (2^{x+1} + 2) = 2$.

Дано логарифмическое уравнение:

$\log_{2}(2^x + 1) \log_{2}(2^{x+1} + 2) = 2$

Сначала определим Область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком логарифма должны быть строго больше нуля:

1) $2^x + 1 > 0$. Поскольку показательная функция $2^x$ всегда положительна ($2^x > 0$ для любого действительного $x$), то и сумма $2^x + 1$ всегда будет больше 1. Это неравенство выполняется для всех $x \in R$.

2) $2^{x+1} + 2 > 0$. Аналогично, $2^{x+1} > 0$ для любого $x$, поэтому $2^{x+1} + 2$ всегда больше 2. Это неравенство также выполняется для всех $x \in R$.

Таким образом, ОДЗ уравнения — все действительные числа.

Теперь преобразуем второй логарифм в уравнении. Используем свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и свойство логарифма произведения $\log_b(cd) = \log_b(c) + \log_b(d)$:

$\log_{2}(2^{x+1} + 2) = \log_{2}(2^x \cdot 2^1 + 2) = \log_{2}(2 \cdot 2^x + 2)$

Вынесем общий множитель 2 за скобки под знаком логарифма:

$\log_{2}(2(2^x + 1)) = \log_{2}(2) + \log_{2}(2^x + 1)$

Так как $\log_{2}(2) = 1$, получаем:

$\log_{2}(2^{x+1} + 2) = 1 + \log_{2}(2^x + 1)$

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$\log_{2}(2^x + 1) \cdot (1 + \log_{2}(2^x + 1)) = 2$

Для удобства введем замену переменной. Пусть $t = \log_{2}(2^x + 1)$. Тогда уравнение примет вид:

$t(1 + t) = 2$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение:

$t + t^2 = 2$

$t^2 + t - 2 = 0$

Это квадратное уравнение можно решить, например, по теореме Виета. Сумма корней равна -1, а их произведение равно -2. Отсюда находим корни:

$t_1 = 1$ и $t_2 = -2$.

Теперь выполним обратную замену для каждого из найденных значений $t$.

1. Случай $t=1$:

$\log_{2}(2^x + 1) = 1$

По определению логарифма, это эквивалентно уравнению:

$2^x + 1 = 2^1$

$2^x + 1 = 2$

$2^x = 1$

Представим 1 как степень двойки:

$2^x = 2^0$

$x = 0$

2. Случай $t=-2$:

$\log_{2}(2^x + 1) = -2$

По определению логарифма:

$2^x + 1 = 2^{-2}$

$2^x + 1 = \frac{1}{4}$

$2^x = \frac{1}{4} - 1$

$2^x = -\frac{3}{4}$

Это уравнение не имеет действительных решений, так как показательная функция $y=2^x$ принимает только положительные значения.

Следовательно, единственным решением исходного уравнения является $x=0$.

Ответ: $0$

859. $\sqrt{3 + \log_x 5\sqrt{5} \cdot \log_{\sqrt{5}} x} = -\sqrt{6}$.

Решим уравнение $ \sqrt{3 + \log_x{5\sqrt{5}} \cdot \log_{\sqrt{5}}{x}} = -\sqrt{6} $.

Сразу обратим внимание на левую и правую части уравнения. По определению, арифметический квадратный корень (обозначаемый знаком $ \sqrt{\phantom{a}} $) из любого неотрицательного числа есть число неотрицательное. Это означает, что левая часть уравнения, $ \sqrt{3 + \log_x{5\sqrt{5}} \cdot \log_{\sqrt{5}}{x}} $, должна быть больше или равна нулю.

Правая часть уравнения равна $ -\sqrt{6} $. Так как $ \sqrt{6} > 0 $, то $ -\sqrt{6} < 0 $, то есть правая часть является отрицательным числом.

Таким образом, мы получаем равенство вида:$ [неотрицательное \ число] = [отрицательное \ число] $Такое равенство невозможно в области действительных чисел. Следовательно, уравнение не имеет решений.

Чтобы убедиться в этом окончательно, можно упростить выражение под корнем. Найдем область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$ и $x \neq 1$.Рассмотрим произведение логарифмов: $ \log_x{5\sqrt{5}} \cdot \log_{\sqrt{5}}{x} $.Воспользуемся формулой перехода к новому основанию $ \log_b{a} = \frac{\log_c{a}}{\log_c{b}} $. Перейдем к основанию 5:$ \log_x{5\sqrt{5}} \cdot \log_{\sqrt{5}}{x} = \frac{\log_5{(5\sqrt{5})}}{\log_5{x}} \cdot \frac{\log_5{x}}{\log_5{(\sqrt{5})}} $

Так как по ОДЗ $ x \neq 1 $, то $ \log_5{x} \neq 0 $, и мы можем сократить этот множитель в числителе и знаменателе:$ \frac{\log_5{(5\sqrt{5})}}{\log_5{(\sqrt{5})}} $

Вычислим оставшиеся логарифмы, представив их аргументы в виде степени 5:$ 5\sqrt{5} = 5^1 \cdot 5^{1/2} = 5^{3/2} \implies \log_5{(5^{3/2})} = \frac{3}{2} $$ \sqrt{5} = 5^{1/2} \implies \log_5{(5^{1/2})} = \frac{1}{2} $

Тогда произведение логарифмов равно:$ \frac{3/2}{1/2} = 3 $

Подставим это значение в исходное уравнение:$ \sqrt{3 + 3} = -\sqrt{6} $$ \sqrt{6} = -\sqrt{6} $

Мы получили неверное числовое равенство. Это подтверждает, что исходное уравнение не имеет решений ни при каких допустимых значениях $ x $.

Ответ: решений нет.

860. 1) $x^{\text{lg } 9} + 9^{\text{lg } x} = 6$

2) $x^{\log_2 \frac{x}{98}} \cdot 14^{\log_2 7} = 1$

1) $x^{\lg 9} + 9^{\lg x} = 6$

Область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения: $x > 0$.

Воспользуемся свойством логарифма $a^{\log_c b} = b^{\log_c a}$. В данном уравнении $\lg$ обозначает десятичный логарифм (логарифм по основанию 10).

Применим это свойство к первому слагаемому:

$x^{\lg 9} = x^{\log_{10} 9} = 9^{\log_{10} x} = 9^{\lg x}$

Теперь исходное уравнение можно переписать, заменив $x^{\lg 9}$ на $9^{\lg x}$:

$9^{\lg x} + 9^{\lg x} = 6$

$2 \cdot 9^{\lg x} = 6$

Разделим обе части уравнения на 2:

$9^{\lg x} = 3$

Представим число 9 как степень числа 3, то есть $9 = 3^2$:

$(3^2)^{\lg x} = 3^1$

По свойству степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:

$3^{2 \lg x} = 3^1$

Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$2 \lg x = 1$

$\lg x = \frac{1}{2}$

По определению десятичного логарифма, если $\log_{10} x = c$, то $x = 10^c$.

$x = 10^{\frac{1}{2}}$

$x = \sqrt{10}$

Полученный корень $x = \sqrt{10}$ удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $x = \sqrt{10}$.

2) $x^{\log_2 \frac{x}{98}} \cdot 14^{\log_2 7} = 1$

ОДЗ данного уравнения определяется условиями $x > 0$ и $\frac{x}{98} > 0$, что в совокупности дает $x > 0$.

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 2:

$\log_2 \left( x^{\log_2 \frac{x}{98}} \cdot 14^{\log_2 7} \right) = \log_2 1$

Используем свойства логарифмов: $\log_a(MN) = \log_a M + \log_a N$ и $\log_a(b^c) = c \log_a b$. Учтем, что $\log_2 1 = 0$.

$\log_2 \left( x^{\log_2 \frac{x}{98}} \right) + \log_2 \left( 14^{\log_2 7} \right) = 0$

$(\log_2 \frac{x}{98}) \cdot (\log_2 x) + (\log_2 7) \cdot (\log_2 14) = 0$

Преобразуем логарифмы в уравнении, используя их свойства:

$\log_2 \frac{x}{98} = \log_2 x - \log_2 98 = \log_2 x - \log_2 (2 \cdot 49) = \log_2 x - (\log_2 2 + \log_2 7^2) = \log_2 x - (1 + 2\log_2 7)$

$\log_2 14 = \log_2(2 \cdot 7) = \log_2 2 + \log_2 7 = 1 + \log_2 7$

Подставим преобразованные выражения обратно в уравнение:

$(\log_2 x - (1 + 2\log_2 7)) \cdot (\log_2 x) + (\log_2 7) \cdot (1 + \log_2 7) = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = \log_2 x$. Уравнение примет вид:

$(y - (1 + 2\log_2 7)) \cdot y + \log_2 7 \cdot (1 + \log_2 7) = 0$

Раскроем скобки и получим квадратное уравнение относительно $y$:

$y^2 - (1 + 2\log_2 7)y + (\log_2 7 + (\log_2 7)^2) = 0$

Это приведенное квадратное уравнение вида $y^2+py+q=0$. Его корни можно найти по теореме Виета. Сумма корней $y_1 + y_2 = -p = 1 + 2\log_2 7$, а произведение корней $y_1 y_2 = q = \log_2 7 + (\log_2 7)^2 = (\log_2 7)(1 + \log_2 7)$.

Подбором находим корни: $y_1 = \log_2 7$ и $y_2 = 1 + \log_2 7$.

Проверим:
Сумма: $y_1 + y_2 = \log_2 7 + (1 + \log_2 7) = 1 + 2\log_2 7$. Верно.
Произведение: $y_1 y_2 = (\log_2 7)(1 + \log_2 7)$. Верно.

Теперь выполним обратную замену для каждого корня.

Случай 1: $y_1 = \log_2 7$

$\log_2 x = \log_2 7 \implies x_1 = 7$

Случай 2: $y_2 = 1 + \log_2 7$

$\log_2 x = 1 + \log_2 7 = \log_2 2 + \log_2 7 = \log_2 (2 \cdot 7) = \log_2 14 \implies x_2 = 14$

Оба корня, $x_1 = 7$ и $x_2 = 14$, положительны и удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $7; 14$.

861. Найти все значения параметра $a$, при которых уравнение $5 \log_5 x + \log_a x - 4 \log_{25} x = a$ имеет корни.

Исходное уравнение: $5 \log_5 x + \log_a x - 4 \log_{25} x = a$.

В первую очередь определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$ и параметра $a$. Для существования логарифмов необходимо, чтобы их аргументы были строго положительными, а основания — строго положительными и не равными единице.
1. Аргумент логарифма: $x > 0$.
2. Основание логарифма: $a > 0$ и $a \neq 1$.

Для решения приведем все логарифмы в уравнении к единому основанию 5, используя формулы перехода к новому основанию: $\log_{b^k} M = \frac{1}{k} \log_b M$ и $\log_b M = \frac{\log_c M}{\log_c b}$.

$\log_{25} x = \log_{5^2} x = \frac{1}{2} \log_5 x$
$\log_a x = \frac{\log_5 x}{\log_5 a}$

Подставим преобразованные логарифмы обратно в исходное уравнение:$5 \log_5 x + \frac{\log_5 x}{\log_5 a} - 4 \left( \frac{1}{2} \log_5 x \right) = a$

Теперь упростим полученное выражение:$5 \log_5 x + \frac{\log_5 x}{\log_5 a} - 2 \log_5 x = a$$(5 - 2) \log_5 x + \frac{\log_5 x}{\log_5 a} = a$$3 \log_5 x + \frac{\log_5 x}{\log_5 a} = a$

Вынесем общий множитель $\log_5 x$ за скобки, чтобы выразить его:$\log_5 x \left( 3 + \frac{1}{\log_5 a} \right) = a$

Для удобства анализа введем замену: пусть $t = \log_5 x$. Так как $x > 0$, переменная $t$ может принимать любое действительное значение, то есть $t \in (-\infty; +\infty)$. Уравнение принимает вид:$t \cdot \left( 3 + \frac{1}{\log_5 a} \right) = a$

Это уравнение является линейным относительно переменной $t$. Уравнение имеет корни, если мы можем найти хотя бы одно значение $t$, удовлетворяющее ему. Проанализируем это уравнение.

Уравнение вида $k \cdot t = b$ имеет решение для $t$ тогда и только тогда, когда не выполняется случай "$k=0$ и $b \neq 0$".В нашем случае коэффициент $k = 3 + \frac{1}{\log_5 a}$ и свободный член $b = a$.

Найдем, при каких значениях $a$ уравнение не имеет корней. Это происходит, когда коэффициент при $t$ равен нулю, а правая часть — нет.$k = 0 \implies 3 + \frac{1}{\log_5 a} = 0$$\frac{1}{\log_5 a} = -3$$\log_5 a = -\frac{1}{3}$$a = 5^{-1/3} = \frac{1}{\sqrt[3]{5}}$

Проверим значение правой части $b=a$ при этом значении параметра:$a = \frac{1}{\sqrt[3]{5}} \neq 0$.Таким образом, при $a = \frac{1}{\sqrt[3]{5}}$ уравнение принимает вид $t \cdot 0 = \frac{1}{\sqrt[3]{5}}$, что является неверным равенством. Следовательно, при $a = \frac{1}{\sqrt[3]{5}}$ уравнение не имеет корней.

Во всех остальных случаях, удовлетворяющих ОДЗ ($a > 0, a \neq 1$), уравнение будет иметь решение. Если $3 + \frac{1}{\log_5 a} \neq 0$, то существует единственный корень $t = \frac{a}{3 + \frac{1}{\log_5 a}}$. Для любого действительного значения $t$ мы можем найти соответствующее значение $x = 5^t$, которое будет положительным и, следовательно, будет корнем исходного уравнения.

Таким образом, исходное уравнение имеет корни при всех значениях параметра $a$ из области допустимых значений, за исключением значения $a = \frac{1}{\sqrt[3]{5}}$.Собираем все условия воедино:
1. $a > 0$
2. $a \neq 1$
3. $a \neq \frac{1}{\sqrt[3]{5}}$

Записываем итоговый ответ в виде объединения интервалов.
Ответ: $a \in (0; \frac{1}{\sqrt[3]{5}}) \cup (\frac{1}{\sqrt[3]{5}}; 1) \cup (1; +\infty)$

$3 \log_5 x + \log_a x - 4 \log_{25} x - a$ имеет корни.

862. Найти все значения $a$, при которых уравнение $\frac{\lg (ax)}{\lg (x+1)} = 2$ имеет ровно один корень.

Для начала определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$ и параметра $a$. Аргументы логарифмов должны быть строго положительными, а знаменатель дроби не должен равняться нулю. Получаем систему неравенств:
$ \begin{cases} ax > 0 \\ x + 1 > 0 \\ \lg(x + 1) \neq 0 \end{cases} $
Из второго неравенства следует, что $x > -1$.
Из третьего неравенства следует, что $x + 1 \neq 1$, то есть $x \neq 0$.
Объединяя эти два условия, получаем, что $x \in (-1, 0) \cup (0, \infty)$.

Рассмотрим первое неравенство $ax > 0$. Оно зависит от знака параметра $a$:
1. Если $a > 0$, то $ax > 0$ равносильно $x > 0$. С учетом остальных ограничений, ОДЗ для $x$ в этом случае: $x \in (0, \infty)$.
2. Если $a < 0$, то $ax > 0$ равносильно $x < 0$. С учетом остальных ограничений, ОДЗ для $x$ в этом случае: $x \in (-1, 0)$.
3. Если $a = 0$, то выражение $\lg(ax)$ не определено. Следовательно, $a \neq 0$.

Теперь преобразуем исходное уравнение:
$\frac{\lg(ax)}{\lg(x + 1)} = 2$
$\lg(ax) = 2 \lg(x + 1)$
Используя свойство логарифма $n \log_b(c) = \log_b(c^n)$, получаем:
$\lg(ax) = \lg((x + 1)^2)$
Так как логарифмическая функция является монотонной, мы можем приравнять аргументы:
$ax = (x + 1)^2$
$ax = x^2 + 2x + 1$
$x^2 + (2 - a)x + 1 = 0$

Мы получили квадратное уравнение относительно $x$. Исходное уравнение имеет ровно один корень, если полученное квадратное уравнение имеет ровно один корень, который удовлетворяет соответствующей ОДЗ.
Найдем дискриминант $D$ этого уравнения:
$D = (2 - a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 4 - 4a + a^2 - 4 = a^2 - 4a = a(a - 4)$.

Рассмотрим два случая, которые мы определили ранее.

Случай 1: $a > 0$
В этом случае ОДЗ для $x$ есть интервал $(0, \infty)$. Нам нужно, чтобы квадратное уравнение $x^2 + (2 - a)x + 1 = 0$ имело ровно один положительный корень.
Если $D = 0$, то есть $a(a - 4) = 0$, что при $a > 0$ дает $a = 4$. Уравнение имеет один (кратный) корень: $x = -\frac{2 - a}{2} = \frac{a - 2}{2}$.
При $a = 4$ корень равен $x = \frac{4 - 2}{2} = 1$. Этот корень $x=1$ принадлежит ОДЗ $(0, \infty)$. Следовательно, при $a=4$ исходное уравнение имеет ровно один корень.
Если $D > 0$, то есть $a(a - 4) > 0$, что при $a > 0$ дает $a > 4$. Уравнение имеет два различных действительных корня $x_1$ и $x_2$. По теореме Виета, их произведение $x_1 x_2 = 1 > 0$, а их сумма $x_1 + x_2 = -(2 - a) = a - 2$. Так как $a > 4$, сумма $a - 2 > 2 > 0$. Поскольку и сумма, и произведение корней положительны, оба корня $x_1$ и $x_2$ являются положительными. Оба корня входят в ОДЗ, и исходное уравнение имеет два решения. Этот случай нам не подходит.
Если $D < 0$, то есть $0 < a < 4$, уравнение не имеет действительных корней.
Таким образом, для $a > 0$ единственным подходящим значением является $a=4$.

Случай 2: $a < 0$
В этом случае ОДЗ для $x$ есть интервал $(-1, 0)$. Нам нужно, чтобы квадратное уравнение $x^2 + (2 - a)x + 1 = 0$ имело ровно один корень в интервале $(-1, 0)$.
Найдем дискриминант: $D = a(a - 4)$. Так как $a < 0$, то и $a - 4 < 0$. Следовательно, $D = a(a - 4) > 0$ для всех $a < 0$. Это означает, что при $a < 0$ квадратное уравнение всегда имеет два различных действительных корня $x_1$ и $x_2$.
По теореме Виета, их произведение $x_1 x_2 = 1 > 0$, а их сумма $x_1 + x_2 = a - 2$. Так как $a < 0$, сумма $a - 2 < -2 < 0$. Поскольку произведение положительно, а сумма отрицательна, оба корня $x_1$ и $x_2$ отрицательны.
Теперь нам нужно проверить, сколько из этих отрицательных корней попадает в интервал $(-1, 0)$.
Рассмотрим функцию $f(x) = x^2 + (2 - a)x + 1$. Это парабола с ветвями вверх.
Найдем значения функции на концах интервала:
$f(0) = 0^2 + (2 - a) \cdot 0 + 1 = 1 > 0$.
$f(-1) = (-1)^2 + (2 - a) \cdot (-1) + 1 = 1 - 2 + a + 1 = a$.
Так как мы рассматриваем случай $a < 0$, то $f(-1) = a < 0$.
Поскольку $f(-1) < 0$ и $f(0) > 0$, а $f(x)$ является непрерывной функцией (парабола), то на интервале $(-1, 0)$ находится ровно один корень уравнения $f(x) = 0$. Второй корень, так как он тоже отрицателен и парабола направлена вверх, будет меньше $-1$.
Следовательно, при любом значении $a < 0$ исходное уравнение имеет ровно один корень, который удовлетворяет ОДЗ.

Объединяя результаты анализа обоих случаев, получаем, что исходное уравнение имеет ровно один корень при $a < 0$ и при $a = 4$.

Ответ: $a \in (-\infty, 0) \cup \{4\}$.

863. При каких значениях $a$ уравнение $\frac{\lg x}{\lg (x - a - a^2)} = 2$ имеет хотя бы один корень? Найти все корни этого уравнения.

Исходное уравнение: $\frac{\lg x}{\lg(x - a - a^2)} = 2$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными, а знаменатель дроби не должен равняться нулю. Это приводит к системе неравенств:

$\begin{cases} x > 0 \\ x - a - a^2 > 0 \\ \lg(x - a - a^2) \neq 0 \end{cases}$

Преобразуем систему:

$\begin{cases} x > 0 \\ x > a + a^2 \\ x - a - a^2 \neq 1 \end{cases} \iff \begin{cases} x > \max(0, a + a^2) \\ x \neq 1 + a + a^2 \end{cases}$

Теперь решим само уравнение. При условии, что $x$ принадлежит ОДЗ, уравнение равносильно следующему:

$\lg x = 2\lg(x - a - a^2)$

Используя свойство логарифма $n\log_b m = \log_b (m^n)$, получаем:

$\lg x = \lg((x - a - a^2)^2)$

Поскольку логарифмическая функция является монотонной, мы можем приравнять аргументы:

$x = (x - a - a^2)^2$

Раскроем скобки и приведем подобные члены, чтобы получить квадратное уравнение относительно $x$:

$x = x^2 - 2x(a+a^2) + (a+a^2)^2$

$x^2 - (2(a+a^2) + 1)x + (a+a^2)^2 = 0$

$x^2 - (2a^2 + 2a + 1)x + (a^2+a)^2 = 0$

Найдем дискриминант $D$ этого квадратного уравнения:

$D = (2a^2 + 2a + 1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a^2+a)^2$

Пусть $y = a^2+a$. Тогда $D = (2y+1)^2 - 4y^2 = 4y^2+4y+1 - 4y^2 = 4y+1$.

Подставим обратно выражение для $y$:

$D = 4(a^2+a)+1 = 4a^2+4a+1 = (2a+1)^2$

Поскольку $D = (2a+1)^2 \ge 0$ для любых действительных $a$, уравнение всегда имеет действительные корни.

Найдем эти корни по формуле:

$x = \frac{(2a^2 + 2a + 1) \pm \sqrt{(2a+1)^2}}{2} = \frac{2a^2 + 2a + 1 \pm (2a+1)}{2}$

Получаем два потенциальных корня:

$x_1 = \frac{2a^2 + 2a + 1 + (2a+1)}{2} = \frac{2a^2+4a+2}{2} = a^2+2a+1 = (a+1)^2$

$x_2 = \frac{2a^2 + 2a + 1 - (2a+1)}{2} = \frac{2a^2}{2} = a^2$

Теперь необходимо проверить, при каких значениях параметра $a$ эти корни удовлетворяют ОДЗ: $x > \max(0, a + a^2)$ и $x \neq 1 + a + a^2$.

Проверка корня $x_1 = (a+1)^2$

1. Проверим условие $x_1 \neq 1 + a + a^2$:

$(a+1)^2 \neq 1 + a + a^2 \implies a^2+2a+1 \neq 1+a+a^2 \implies 2a \neq a \implies a \neq 0$.

2. Проверим условие $x_1 > \max(0, a + a^2)$:

Это равносильно системе из двух неравенств:

$\begin{cases} (a+1)^2 > 0 \\ (a+1)^2 > a+a^2 \end{cases} \implies \begin{cases} a \neq -1 \\ a^2+2a+1 > a+a^2 \end{cases} \implies \begin{cases} a \neq -1 \\ a > -1 \end{cases}$

Объединяя условия для $x_1$, получаем, что $a \neq 0$ и $a > -1$.

Следовательно, $x_1 = (a+1)^2$ является корнем уравнения при $a \in (-1, 0) \cup (0, \infty)$.

Проверка корня $x_2 = a^2$

1. Проверим условие $x_2 \neq 1 + a + a^2$:

$a^2 \neq 1 + a + a^2 \implies 0 \neq 1+a \implies a \neq -1$.

2. Проверим условие $x_2 > \max(0, a + a^2)$:

Это равносильно системе из двух неравенств:

$\begin{cases} a^2 > 0 \\ a^2 > a+a^2 \end{cases} \implies \begin{cases} a \neq 0 \\ 0 > a \end{cases} \implies a < 0$.

Объединяя условия для $x_2$, получаем, что $a \neq -1$ и $a < 0$.

Следовательно, $x_2 = a^2$ является корнем уравнения при $a \in (-\infty, -1) \cup (-1, 0)$.

Итоги

1. При каких значениях $a$ уравнение имеет хотя бы один корень?
Уравнение имеет хотя бы один корень, если $a$ принадлежит объединению множеств, на которых существуют корни $x_1$ и $x_2$:

$( (-1, 0) \cup (0, \infty) ) \cup ( (-\infty, -1) \cup (-1, 0) ) = (-\infty, -1) \cup (-1, 0) \cup (0, \infty)$.

Таким образом, уравнение имеет хотя бы один корень при всех действительных значениях $a$, кроме $a=-1$ и $a=0$.

2. Найти все корни этого уравнения.
Рассмотрим различные интервалы для $a$:

• При $a \in (-\infty, -1)$: существует только корень $x_2 = a^2$.
• При $a = -1$: корней нет.
• При $a \in (-1, 0)$: существуют оба корня, $x_1 = (a+1)^2$ и $x_2 = a^2$. Они различны, так как $x_1 = x_2$ только при $a = -1/2$.
• При $a = -1/2$: корни совпадают, $x_1=x_2=1/4$. Один корень.
• При $a = 0$: корней нет.
• При $a \in (0, \infty)$: существует только корень $x_1 = (a+1)^2$.

Ответ: Уравнение имеет хотя бы один корень при $a \in (-\infty, -1) \cup (-1, 0) \cup (0, \infty)$.
Корни уравнения в зависимости от параметра $a$ следующие:

• если $a \in (-\infty, -1)$, то один корень $x = a^2$;
• если $a \in (-1, -1/2) \cup (-1/2, 0)$, то два корня $x_1 = (a+1)^2$ и $x_2 = a^2$;
• если $a = -1/2$, то один корень $x = 1/4$;
• если $a \in (0, \infty)$, то один корень $x = (a+1)^2$;
• если $a = -1$ или $a = 0$, то корней нет.