Страница 256 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

Решить неравенство (828–829).

828.

1) $\log_5 x > \log_5 3;$

2) $\log_{\frac{1}{5}} x \leq \log_{\frac{1}{5}} \frac{1}{8};$

3) $\lg x < \lg 4;$

4) $\ln x > \ln 0,5.$

1) Дано неравенство $ \log_5 x > \log_5 3 $.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным, поэтому $ x > 0 $.

Основание логарифма равно 5. Так как основание $ 5 > 1 $, логарифмическая функция $ y = \log_5 x $ является возрастающей. Это означает, что для выполнения неравенства $ \log_5 x > \log_5 3 $ необходимо, чтобы аргумент первого логарифма был больше аргумента второго. При переходе к аргументам знак неравенства сохраняется:

$ x > 3 $

Теперь объединим это решение с ОДЗ в систему неравенств:

$ \begin{cases} x > 3 \\ x > 0 \end{cases} $

Пересечением этих двух условий является $ x > 3 $.

Ответ: $ x \in (3, +\infty) $.

2) Дано неравенство $ \log_{\frac{1}{5}} x \le \log_{\frac{1}{5}} \frac{1}{8} $.

ОДЗ: аргумент логарифма $ x > 0 $.

Основание логарифма равно $ \frac{1}{5} $. Так как основание $ 0 < \frac{1}{5} < 1 $, логарифмическая функция $ y = \log_{\frac{1}{5}} x $ является убывающей. Это означает, что при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства меняется на противоположный:

$ x \ge \frac{1}{8} $

Объединим решение с ОДЗ:

$ \begin{cases} x \ge \frac{1}{8} \\ x > 0 \end{cases} $

Пересечением этих условий является $ x \ge \frac{1}{8} $.

Ответ: $ x \in [\frac{1}{8}, +\infty) $.

3) Дано неравенство $ \lg x < \lg 4 $.

Запись $ \lg x $ означает десятичный логарифм, то есть $ \log_{10} x $. ОДЗ: $ x > 0 $.

Основание логарифма равно 10. Так как основание $ 10 > 1 $, функция $ y = \lg x $ является возрастающей. Следовательно, знак неравенства при переходе к аргументам сохраняется:

$ x < 4 $

Объединим решение с ОДЗ в систему:

$ \begin{cases} x < 4 \\ x > 0 \end{cases} $

Решением системы является двойное неравенство $ 0 < x < 4 $.

Ответ: $ x \in (0, 4) $.

4) Дано неравенство $ \ln x > \ln 0.5 $.

Запись $ \ln x $ означает натуральный логарифм, то есть $ \log_e x $, где основание $ e \approx 2.718 $. ОДЗ: $ x > 0 $.

Так как основание $ e > 1 $, функция $ y = \ln x $ является возрастающей. Поэтому знак неравенства при переходе к аргументам сохраняется:

$ x > 0.5 $

Объединим полученное решение с ОДЗ:

$ \begin{cases} x > 0.5 \\ x > 0 \end{cases} $

Пересечением этих условий является $ x > 0.5 $.

Ответ: $ x \in (0.5, +\infty) $.

829. 1) $ \log_3 x < 2; $

2) $ \log_{0,4} x > 2; $

3) $ \log_{\frac{1}{2}} x \ge 16; $

4) $ \log_{0,4} x \le 2. $

1) Решим неравенство $log_3 x < 2$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным, следовательно, $x > 0$.

Теперь преобразуем неравенство. Представим правую часть в виде логарифма с основанием 3:$2 = 2 \cdot log_3 3 = log_3 (3^2) = log_3 9$.

Неравенство принимает вид:$log_3 x < log_3 9$.

Основание логарифма $a=3$ больше 1 ($3 > 1$), поэтому логарифмическая функция $y=log_3 x$ является возрастающей. При переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства сохраняется:$x < 9$.

Для нахождения окончательного решения объединим полученное неравенство с ОДЗ в систему:$\begin{cases} x > 0 \\ x < 9 \end{cases}$

Решением этой системы является интервал $0 < x < 9$.

Ответ: $x \in (0; 9)$.

2) Решим неравенство $log_{0,4} x > 2$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием $x > 0$.

Представим правую часть неравенства в виде логарифма с основанием 0,4:$2 = 2 \cdot log_{0,4} 0,4 = log_{0,4} (0,4^2) = log_{0,4} 0,16$.

Неравенство принимает вид:$log_{0,4} x > log_{0,4} 0,16$.

Основание логарифма $a=0,4$ находится в интервале от 0 до 1 ($0 < 0,4 < 1$), поэтому логарифмическая функция $y=log_{0,4} x$ является убывающей. При переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства меняется на противоположный:$x < 0,16$.

Объединим полученное решение с ОДЗ в систему:$\begin{cases} x > 0 \\ x < 0,16 \end{cases}$

Решением системы является интервал $0 < x < 0,16$.

Ответ: $x \in (0; 0,16)$.

3) Решим неравенство $log_{\frac{1}{2}} x \ge 16$.

Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$.

Представим правую часть неравенства в виде логарифма с основанием $\frac{1}{2}$:$16 = 16 \cdot log_{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2}) = log_{\frac{1}{2}} ((\frac{1}{2})^{16})$.

Неравенство принимает вид:$log_{\frac{1}{2}} x \ge log_{\frac{1}{2}} ((\frac{1}{2})^{16})$.

Основание логарифма $a=\frac{1}{2}$ находится в интервале от 0 до 1 ($0 < \frac{1}{2} < 1$), поэтому логарифмическая функция является убывающей. При переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный:$x \le (\frac{1}{2})^{16}$.

Объединим полученное решение с ОДЗ в систему:$\begin{cases} x > 0 \\ x \le (\frac{1}{2})^{16} \end{cases}$

Решением системы является полуинтервал $0 < x \le (\frac{1}{2})^{16}$.

Ответ: $x \in (0; (\frac{1}{2})^{16}]$.

4) Решим неравенство $log_{0,4} x \le 2$.

Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$.

Представим правую часть неравенства в виде логарифма с основанием 0,4:$2 = log_{0,4} (0,4^2) = log_{0,4} 0,16$.

Неравенство принимает вид:$log_{0,4} x \le log_{0,4} 0,16$.

Основание логарифма $a=0,4$ находится в интервале от 0 до 1 ($0 < 0,4 < 1$), поэтому логарифмическая функция является убывающей. При переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный:$x \ge 0,16$.

Объединим полученное решение с ОДЗ:$\begin{cases} x > 0 \\ x \ge 0,16 \end{cases}$

Пересечением этих двух условий является $x \ge 0,16$.

Ответ: $x \in [0,16; +\infty)$.

830. Решить уравнение:

1) $\log_3 (5x - 1) = 2;$

2) $\log_5 (3x + 1) = 2;$

3) $\log_4 (2x - 3) = 1;$

4) $\log_7 (x + 3) = 2;$

5) $\lg (3x - 1) = 0;$

6) $\lg (2 - 5x) = 1.$

1) $log_3(5x - 1) = 2$

Для решения логарифмического уравнения вида $log_a(b) = c$ используется основное логарифмическое тождество, согласно которому уравнение эквивалентно $b = a^c$. Важно также учесть область допустимых значений (ОДЗ): выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным.

ОДЗ: $5x - 1 > 0 \Rightarrow 5x > 1 \Rightarrow x > 1/5$.

Преобразуем уравнение по определению логарифма:

$5x - 1 = 3^2$

$5x - 1 = 9$

$5x = 9 + 1$

$5x = 10$

$x = 10 / 5$

$x = 2$

Проверяем, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ: $2 > 1/5$. Условие выполняется.

Ответ: $2$.

2) $log_5(3x + 1) = 2$

ОДЗ: $3x + 1 > 0 \Rightarrow 3x > -1 \Rightarrow x > -1/3$.

Преобразуем уравнение:

$3x + 1 = 5^2$

$3x + 1 = 25$

$3x = 25 - 1$

$3x = 24$

$x = 24 / 3$

$x = 8$

Проверяем ОДЗ: $8 > -1/3$. Условие выполняется.

Ответ: $8$.

3) $log_4(2x - 3) = 1$

ОДЗ: $2x - 3 > 0 \Rightarrow 2x > 3 \Rightarrow x > 3/2$ или $x > 1.5$.

Преобразуем уравнение:

$2x - 3 = 4^1$

$2x - 3 = 4$

$2x = 4 + 3$

$2x = 7$

$x = 7/2 = 3.5$

Проверяем ОДЗ: $3.5 > 1.5$. Условие выполняется.

Ответ: $3.5$.

4) $log_7(x + 3) = 2$

ОДЗ: $x + 3 > 0 \Rightarrow x > -3$.

Преобразуем уравнение:

$x + 3 = 7^2$

$x + 3 = 49$

$x = 49 - 3$

$x = 46$

Проверяем ОДЗ: $46 > -3$. Условие выполняется.

Ответ: $46$.

5) $lg(3x - 1) = 0$

Запись $lg$ означает десятичный логарифм, то есть логарифм по основанию 10: $lg(a) = log_{10}(a)$.

ОДЗ: $3x - 1 > 0 \Rightarrow 3x > 1 \Rightarrow x > 1/3$.

Преобразуем уравнение:

$3x - 1 = 10^0$

Так как любое число в нулевой степени равно 1:

$3x - 1 = 1$

$3x = 1 + 1$

$3x = 2$

$x = 2/3$

Проверяем ОДЗ: $2/3 > 1/3$. Условие выполняется.

Ответ: $2/3$.

6) $lg(2 - 5x) = 1$

Уравнение можно записать как $log_{10}(2 - 5x) = 1$.

ОДЗ: $2 - 5x > 0 \Rightarrow 2 > 5x \Rightarrow x < 2/5$ или $x < 0.4$.

Преобразуем уравнение:

$2 - 5x = 10^1$

$2 - 5x = 10$

$-5x = 10 - 2$

$-5x = 8$

$x = -8/5 = -1.6$

Проверяем ОДЗ: $-1.6 < 0.4$. Условие выполняется.

Ответ: $-1.6$.

831. Найти область определения функции:

1) $y = \log_4 (x - 1);$

2) $y = \log_{0,3} (1 + x);$

3) $y = \log_3 (x^2 + 2x);$

4) $y = \log_{\sqrt{2}} (4 - x^2).$

Область определения логарифмической функции $y = \log_a(f(x))$ — это множество всех значений $x$, для которых аргумент логарифма строго положителен, то есть $f(x) > 0$. Основание логарифма $a$ должно быть положительным и не равным единице ($a > 0, a \neq 1$), что выполняется для всех заданных функций.

1) $y = \log_4(x - 1)$

Чтобы найти область определения, необходимо решить неравенство: $x - 1 > 0$ Перенося -1 в правую часть, получаем: $x > 1$ Следовательно, область определения — это интервал от 1 до плюс бесконечности.

Ответ: $x \in (1; +\infty)$.

2) $y = \log_{0,3}(1 + x)$

Решаем неравенство для аргумента логарифма: $1 + x > 0$ Перенося 1 в правую часть, получаем: $x > -1$ Область определения — это все числа, большие -1.

Ответ: $x \in (-1; +\infty)$.

3) $y = \log_3(x^2 + 2x)$

Решаем квадратное неравенство: $x^2 + 2x > 0$ Найдем корни уравнения $x^2 + 2x = 0$, вынеся $x$ за скобки: $x(x + 2) = 0$ Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = -2$. Графиком функции $y = x^2 + 2x$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции положительны вне интервала между корнями. Таким образом, решение неравенства: $x < -2$ или $x > 0$.

Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (0; +\infty)$.

4) $y = \log_{\sqrt{2}}(4 - x^2)$

Решаем квадратное неравенство: $4 - x^2 > 0$ Перепишем его в виде: $x^2 < 4$ Это неравенство равносильно системе: $\begin{cases} x < 2 \\ x > -2 \end{cases}$ То есть $-2 < x < 2$. Другой способ — найти корни уравнения $4 - x^2 = 0$, которые равны $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$. Графиком функции $y = 4 - x^2$ является парабола, ветви которой направлены вниз. Значения функции положительны на интервале между корнями.

Ответ: $x \in (-2; 2)$.

832. Доказать, что функция $y = \log_2 (x^2 - 1)$ возрастает на промежутке $x > 1$.

Для доказательства того, что функция $y = \log_2(x^2 - 1)$ возрастает на промежутке $x > 1$, можно использовать два основных подхода: через определение возрастающей функции или с помощью производной. Рассмотрим оба метода.

Способ 1: Использование определения возрастающей функции и свойств композиции функций.

Представим данную функцию $y(x)$ как композицию двух функций: $y(x) = f(g(x))$, где:

• внутренняя функция: $g(x) = x^2 - 1$
• внешняя функция: $f(u) = \log_2(u)$

Функция является возрастающей, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

1. Проанализируем монотонность внутренней функции $g(x) = x^2 - 1$ на промежутке $x > 1$.
Возьмём два произвольных числа $x_1$ и $x_2$ из промежутка $(1, \infty)$ так, что $x_1 < x_2$.Поскольку $x_1$ и $x_2$ положительны, при возведении в квадрат знак неравенства сохранится: $x_1^2 < x_2^2$.Вычтем 1 из обеих частей неравенства: $x_1^2 - 1 < x_2^2 - 1$.Это означает, что $g(x_1) < g(x_2)$. Следовательно, функция $g(x) = x^2 - 1$ является строго возрастающей на промежутке $(1, \infty)$.

2. Проанализируем монотонность внешней функции $f(u) = \log_2(u)$.
Это логарифмическая функция с основанием $a=2$. Так как основание $a > 1$, функция $f(u)$ является возрастающей на всей своей области определения ($u > 0$).При $x > 1$ значения внутренней функции $g(x) = x^2 - 1$ положительны, то есть $g(x) > 0$. Это значит, что область значений $g(x)$ на данном промежутке входит в область определения $f(u)$.

3. Заключение.
Исходная функция $y(x)$ является композицией двух возрастающих функций. Композиция двух возрастающих функций также является возрастающей функцией. Следовательно, функция $y = \log_2(x^2 - 1)$ возрастает на промежутке $x > 1$.

Способ 2: Использование производной.

Функция возрастает на промежутке, если ее производная на этом промежутке положительна ($y' > 0$).

1. Найдем производную функции $y = \log_2(x^2 - 1)$.
Для этого воспользуемся формулой производной логарифма $(\log_a u)' = \frac{u'}{u \ln a}$.В нашем случае $a=2$ и $u = x^2 - 1$. Производная от $u$ равна $u' = (x^2 - 1)' = 2x$.Подставляем в формулу:$y' = \frac{2x}{(x^2 - 1) \ln 2}$

2. Определим знак производной на промежутке $x > 1$.
На этом промежутке:

• $x > 1$, следовательно числитель $2x$ положителен.
• $x > 1 \implies x^2 > 1 \implies x^2 - 1 > 0$.
• $\ln 2$ — положительная константа, так как $2 > 1$.

Знаменатель $(x^2 - 1) \ln 2$ является произведением двух положительных выражений, значит он тоже положителен.

3. Заключение.
Поскольку и числитель, и знаменатель дроби положительны при $x > 1$, вся производная $y'$ положительна на этом промежутке. Следовательно, функция $y = \log_2(x^2 - 1)$ возрастает на промежутке $x > 1$.

Ответ: Утверждение доказано обоими способами.

833. Сравнить значения выражений:

1) $\frac{1}{2} + \lg 3$ и $\lg 19 - \lg 2$;

2) $\frac{\lg 5 + \lg \sqrt{7}}{2}$ и $\lg \frac{5 + \sqrt{7}}{2}$;

3) $3 (\lg 7 - \lg 5)$ и $\lg 9 - \frac{2}{3} \lg 8$;

4) $\lg \lg \lg 50$ и $\lg^3 5$.

1) Сравним выражения $\frac{1}{2} + \lg 3$ и $\lg 19 - \lg 2$.

Сначала преобразуем первое выражение. Используем свойство логарифма, представив $\frac{1}{2}$ как $\lg(10^{\frac{1}{2}}) = \lg\sqrt{10}$.
$\frac{1}{2} + \lg 3 = \lg\sqrt{10} + \lg 3$.
По свойству суммы логарифмов $\log_a x + \log_a y = \log_a (xy)$ получаем:
$\lg\sqrt{10} + \lg 3 = \lg(3\sqrt{10})$.

Теперь преобразуем второе выражение, используя свойство разности логарифмов $\log_a x - \log_a y = \log_a (\frac{x}{y})$:
$\lg 19 - \lg 2 = \lg\frac{19}{2} = \lg 9.5$.

Теперь нам нужно сравнить $\lg(3\sqrt{10})$ и $\lg 9.5$.
Поскольку функция $y=\lg x$ является возрастающей, знак неравенства для логарифмов будет таким же, как и для их аргументов. Сравним $3\sqrt{10}$ и $9.5$.
Так как оба числа положительные, мы можем сравнить их квадраты:
$(3\sqrt{10})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{10})^2 = 9 \cdot 10 = 90$.
$(9.5)^2 = 90.25$.

Поскольку $90 < 90.25$, то $3\sqrt{10} < 9.5$.
Следовательно, $\lg(3\sqrt{10}) < \lg 9.5$.
Ответ: $\frac{1}{2} + \lg 3 < \lg 19 - \lg 2$.

2) Сравним выражения $\frac{\lg 5 + \lg \sqrt{7}}{2}$ и $\lg \frac{5 + \sqrt{7}}{2}$.

Преобразуем первое выражение, используя свойства логарифмов:
$\frac{\lg 5 + \lg \sqrt{7}}{2} = \frac{\lg(5\sqrt{7})}{2} = \frac{1}{2}\lg(5\sqrt{7}) = \lg((5\sqrt{7})^{\frac{1}{2}}) = \lg(\sqrt{5\sqrt{7}})$.

Теперь сравним аргументы логарифмов: $\sqrt{5\sqrt{7}}$ и $\frac{5 + \sqrt{7}}{2}$. Так как оба выражения положительны, возведем их в квадрат:
$(\sqrt{5\sqrt{7}})^2 = 5\sqrt{7}$.
$(\frac{5 + \sqrt{7}}{2})^2 = \frac{5^2 + 2 \cdot 5 \cdot \sqrt{7} + (\sqrt{7})^2}{4} = \frac{25 + 10\sqrt{7} + 7}{4} = \frac{32 + 10\sqrt{7}}{4} = 8 + \frac{5}{2}\sqrt{7} = 8 + 2.5\sqrt{7}$.

Сравним $5\sqrt{7}$ и $8 + 2.5\sqrt{7}$.
Вычтем из обеих частей $2.5\sqrt{7}$, чтобы сравнить $5\sqrt{7} - 2.5\sqrt{7}$ и $8$, то есть $2.5\sqrt{7}$ и $8$.
Снова возведем в квадрат (оба числа положительны):
$(2.5\sqrt{7})^2 = (2.5)^2 \cdot 7 = 6.25 \cdot 7 = 43.75$.
$8^2 = 64$.

Так как $43.75 < 64$, то $2.5\sqrt{7} < 8$. Это означает, что $5\sqrt{7} < 8 + 2.5\sqrt{7}$, и, следовательно, $(\sqrt{5\sqrt{7}})^2 < (\frac{5 + \sqrt{7}}{2})^2$.
Поскольку исходные аргументы были положительны, $\sqrt{5\sqrt{7}} < \frac{5 + \sqrt{7}}{2}$.
В силу возрастания функции $y=\lg x$, получаем $\lg(\sqrt{5\sqrt{7}}) < \lg(\frac{5 + \sqrt{7}}{2})$.
Ответ: $\frac{\lg 5 + \lg \sqrt{7}}{2} < \lg \frac{5 + \sqrt{7}}{2}$.

3) Сравним выражения $3(\lg 7 - \lg 5)$ и $\lg 9 - \frac{2}{3}\lg 8$.

Преобразуем первое выражение:
$3(\lg 7 - \lg 5) = 3 \lg \frac{7}{5} = \lg ((\frac{7}{5})^3) = \lg \frac{343}{125} = \lg 2.744$.

Преобразуем второе выражение:
$\lg 9 - \frac{2}{3}\lg 8 = \lg 9 - \lg (8^{\frac{2}{3}}) = \lg 9 - \lg((\sqrt[3]{8})^2) = \lg 9 - \lg(2^2) = \lg 9 - \lg 4 = \lg \frac{9}{4} = \lg 2.25$.

Теперь сравним аргументы полученных логарифмов: $2.744$ и $2.25$.
Так как $2.744 > 2.25$ и функция $y=\lg x$ является возрастающей, то $\lg 2.744 > \lg 2.25$.
Ответ: $3(\lg 7 - \lg 5) > \lg 9 - \frac{2}{3}\lg 8$.

4) Сравним выражения $\lg \lg \lg 50$ и $\lg^3 5$.

Заметим, что $\lg^3 5$ это стандартное обозначение для $(\lg 5)^3$. Сравним знаки этих двух выражений.

Рассмотрим первое выражение $\lg(\lg(\lg 50))$.
Сначала оценим $\lg 50$. Так как $10^1 < 50 < 10^2$, то, логарифмируя по основанию 10, получаем $1 < \lg 50 < 2$.
Далее оценим $\lg(\lg 50)$. Так как $1 < \lg 50 < 2$, то, применяя логарифм еще раз, получаем $\lg 1 < \lg(\lg 50) < \lg 2$, что равносильно $0 < \lg(\lg 50) < \lg 2$.
Наконец, оценим всё выражение. Так как $\lg 2 < \lg 10 = 1$, то $0 < \lg(\lg 50) < 1$. Аргумент внешнего логарифма находится в интервале $(0, 1)$. Десятичный логарифм числа из этого интервала всегда отрицателен.
Следовательно, $\lg(\lg(\lg 50)) < 0$.

Рассмотрим второе выражение $(\lg 5)^3$.
Поскольку $5 > 1$, то $\lg 5 > \lg 1 = 0$. Значение $\lg 5$ является положительным числом. Куб положительного числа также является положительным числом.
Следовательно, $(\lg 5)^3 > 0$.

Сравнивая отрицательное число $\lg(\lg(\lg 50))$ и положительное число $(\lg 5)^3$, мы заключаем, что первое выражение меньше второго.
Ответ: $\lg \lg \lg 50 < \lg^3 5$.

834. Найти область определения функции:

1) $y = \log_8 (x^2 - 3x - 4);$

2) $y = \log_{\sqrt{3}} (-x^2 + 5x + 6);$

3) $y = \log_{0,7} \frac{x^2 - 9}{x + 5};$

4) $y = \log_{\frac{1}{3}} \frac{x - 4}{x^2 + 4};$

5) $y = \log_{\pi} (2^x - 2);$

6) $y = \log_3 (3^{x-1} - 9).$

Область определения логарифмической функции $y = \log_a(f(x))$ находится из условия, что аргумент логарифма должен быть строго положительным, то есть $f(x) > 0$. Основание логарифма $a$ должно быть $a>0$ и $a \neq 1$, что выполняется во всех представленных задачах.

1) $y = \log_8 (x^2 - 3x - 4)$

Для нахождения области определения решим неравенство:

$x^2 - 3x - 4 > 0$

Сначала найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 3x - 4 = 0$. Используя теорему Виета, получаем корни $x_1 = 4$ и $x_2 = -1$.

Графиком функции $f(x) = x^2 - 3x - 4$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен. Следовательно, значения функции положительны вне интервала между корнями.

Таким образом, решение неравенства: $x \in (-\infty; -1) \cup (4; +\infty)$.

Ответ: $(-\infty; -1) \cup (4; +\infty)$.

2) $y = \log_{\sqrt{3}} (-x^2 + 5x + 6)$

Решим неравенство:

$-x^2 + 5x + 6 > 0$

Умножим обе части неравенства на $-1$ и сменим знак неравенства на противоположный:

$x^2 - 5x - 6 < 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 5x - 6 = 0$. По теореме Виета, корни равны $x_1 = 6$ и $x_2 = -1$.

Графиком функции $f(x) = x^2 - 5x - 6$ является парабола с ветвями вверх. Значения этой функции отрицательны между корнями.

Следовательно, решение неравенства: $x \in (-1; 6)$.

Ответ: $(-1; 6)$.

3) $y = \log_{0.7} \frac{x^2 - 9}{x+5}$

Решим неравенство:

$\frac{x^2 - 9}{x+5} > 0$

Разложим числитель на множители:

$\frac{(x-3)(x+3)}{x+5} > 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя ($x=3$, $x=-3$) и нуль знаменателя ($x=-5$). Отметим эти точки на числовой оси и определим знаки выражения в каждом из полученных интервалов:

• При $x > 3$, все множители положительны, дробь положительна.
• При $-3 < x < 3$, $(x-3)<0$, $(x+3)>0$, $(x+5)>0$, дробь отрицательна.
• При $-5 < x < -3$, $(x-3)<0$, $(x+3)<0$, $(x+5)>0$, дробь положительна.
• При $x < -5$, все множители отрицательны, дробь отрицательна.

Нас интересуют интервалы, где выражение больше нуля.

Таким образом, решение: $x \in (-5; -3) \cup (3; +\infty)$.

Ответ: $(-5; -3) \cup (3; +\infty)$.

4) $y = \log_{\frac{1}{3}} \frac{x-4}{x^2+4}$

Решим неравенство:

$\frac{x-4}{x^2+4} > 0$

Знаменатель $x^2+4$ всегда положителен, так как $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, и значит $x^2+4 \ge 4$.

Поскольку знаменатель дроби всегда положителен, знак дроби совпадает со знаком числителя. Поэтому неравенство равносильно следующему:

$x-4 > 0$

$x > 4$

Область определения: $x \in (4; +\infty)$.

Ответ: $(4; +\infty)$.

5) $y = \log_{\pi} (2^x - 2)$

Решим неравенство:

$2^x - 2 > 0$

$2^x > 2$

Так как основание степени $2 > 1$, показательная функция $f(t)=2^t$ является возрастающей. Поэтому, сравнивая степени, знак неравенства сохраняется:

$2^x > 2^1 \implies x > 1$

Область определения: $x \in (1; +\infty)$.

Ответ: $(1; +\infty)$.

6) $y = \log_3 (3^{x-1} - 9)$

Решим неравенство:

$3^{x-1} - 9 > 0$

$3^{x-1} > 9$

Представим $9$ как степень числа $3$: $9=3^2$.

$3^{x-1} > 3^2$

Так как основание степени $3 > 1$, показательная функция является возрастающей, поэтому можем сравнить показатели степеней, сохранив знак неравенства:

$x-1 > 2$

$x > 3$

Область определения: $x \in (3; +\infty)$.

Ответ: $(3; +\infty)$.

835. Построить график функции, найти её область определения и множество значений:

1) $y = \log_3 (x - 1);$

2) $\log_{\frac{1}{3}} (x + 1);$

3) $y = 1 + \log_3 x;$

4) $y = \log_{\frac{1}{3}} x - 1;$

5) $y = 1 + \log_3 (x - 1).$

1) $y = \log_3(x - 1)$

График данной функции получается из графика базовой логарифмической функции $y = \log_3 x$ путем сдвига на 1 единицу вправо вдоль оси Ox.

Область определения функции $D(y)$:
Аргумент логарифма должен быть строго положительным, поэтому: $x - 1 > 0$
$x > 1$
$D(y) = (1, +\infty)$.

Множество значений функции $E(y)$:
Множество значений логарифмической функции — это все действительные числа. $E(y) = (-\infty, +\infty)$.

Построение графика:
1. Вертикальная асимптота графика смещается из $x=0$ в $x=1$.
2. Найдем ключевые точки. Точка пересечения с осью Ox ($y=0$): $\log_3(x-1) = 0 \implies x-1 = 3^0 \implies x-1=1 \implies x=2$. График проходит через точку $(2, 0)$.
3. Для другой точки возьмем $x=4$: $y = \log_3(4-1) = \log_3 3 = 1$. График проходит через точку $(4, 1)$.
4. Так как основание логарифма $3 > 1$, функция является возрастающей.

Ответ: Область определения: $(1, +\infty)$. Множество значений: $(-\infty, +\infty)$. График функции — это график $y=\log_3 x$, сдвинутый на 1 единицу вправо. Вертикальная асимптота: $x=1$.

2) $y = \log_{\frac{1}{3}}(x + 1)$

График данной функции получается из графика базовой функции $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ путем сдвига на 1 единицу влево вдоль оси Ox.

Область определения функции $D(y)$:
$x + 1 > 0$
$x > -1$
$D(y) = (-1, +\infty)$.

Множество значений функции $E(y)$:
$E(y) = (-\infty, +\infty)$.

Построение графика:
1. Вертикальная асимптота смещается из $x=0$ в $x=-1$.
2. Точка пересечения с осями координат ($x=0$): $y=\log_{\frac{1}{3}}(0+1)=\log_{\frac{1}{3}} 1 = 0$. График проходит через начало координат, точку $(0, 0)$.
3. Для другой точки возьмем $x=2$: $y = \log_{\frac{1}{3}}(2+1) = \log_{\frac{1}{3}} 3 = -1$. График проходит через точку $(2, -1)$.
4. Так как основание логарифма $0 < \frac{1}{3} < 1$, функция является убывающей.

Ответ: Область определения: $(-1, +\infty)$. Множество значений: $(-\infty, +\infty)$. График функции — это график $y=\log_{\frac{1}{3}} x$, сдвинутый на 1 единицу влево. Вертикальная асимптота: $x=-1$.

3) $y = 1 + \log_3 x$

График данной функции получается из графика базовой функции $y = \log_3 x$ путем сдвига на 1 единицу вверх вдоль оси Oy.

Область определения функции $D(y)$:
$x > 0$
$D(y) = (0, +\infty)$.

Множество значений функции $E(y)$:
$E(y) = (-\infty, +\infty)$.

Построение графика:
1. Вертикальная асимптота $x=0$ (ось Oy) не изменяется.
2. Точка пересечения с осью Ox ($y=0$): $1 + \log_3 x = 0 \implies \log_3 x = -1 \implies x = 3^{-1} = \frac{1}{3}$. График проходит через точку $(\frac{1}{3}, 0)$.
3. Исходная точка $(1, 0)$ графика $y=\log_3 x$ смещается в точку $(1, 1)$.
4. Функция возрастающая, так как основание $3 > 1$.

Ответ: Область определения: $(0, +\infty)$. Множество значений: $(-\infty, +\infty)$. График функции — это график $y=\log_3 x$, сдвинутый на 1 единицу вверх. Вертикальная асимптота: $x=0$.

4) $y = \log_{\frac{1}{3}} x - 1$

График данной функции получается из графика базовой функции $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ путем сдвига на 1 единицу вниз вдоль оси Oy.

Область определения функции $D(y)$:
$x > 0$
$D(y) = (0, +\infty)$.

Множество значений функции $E(y)$:
$E(y) = (-\infty, +\infty)$.

Построение графика:
1. Вертикальная асимптота $x=0$ (ось Oy) не изменяется.
2. Точка пересечения с осью Ox ($y=0$): $\log_{\frac{1}{3}} x - 1 = 0 \implies \log_{\frac{1}{3}} x = 1 \implies x = (\frac{1}{3})^1 = \frac{1}{3}$. График проходит через точку $(\frac{1}{3}, 0)$.
3. Исходная точка $(1, 0)$ графика $y=\log_{\frac{1}{3}} x$ смещается в точку $(1, -1)$.
4. Функция убывающая, так как основание $0 < \frac{1}{3} < 1$.

Ответ: Область определения: $(0, +\infty)$. Множество значений: $(-\infty, +\infty)$. График функции — это график $y=\log_{\frac{1}{3}} x$, сдвинутый на 1 единицу вниз. Вертикальная асимптота: $x=0$.

5) $y = 1 + \log_3(x - 1)$

График данной функции получается из графика базовой функции $y = \log_3 x$ путем двух преобразований: сдвиг на 1 единицу вправо вдоль оси Ox и сдвиг на 1 единицу вверх вдоль оси Oy.

Область определения функции $D(y)$:
$x - 1 > 0$
$x > 1$
$D(y) = (1, +\infty)$.

Множество значений функции $E(y)$:
$E(y) = (-\infty, +\infty)$.

Построение графика:
1. Вертикальная асимптота смещается в $x=1$.
2. Точка пересечения с осью Ox ($y=0$): $1 + \log_3(x - 1) = 0 \implies \log_3(x - 1) = -1 \implies x-1 = 3^{-1} = \frac{1}{3} \implies x = 1\frac{1}{3}$. График проходит через точку $(1\frac{1}{3}, 0)$.
3. Исходная точка $(1,0)$ графика $y=\log_3 x$ после сдвигов переходит в точку $(1+1, 0+1) = (2, 1)$.
4. Функция возрастающая, так как основание $3 > 1$.

Ответ: Область определения: $(1, +\infty)$. Множество значений: $(-\infty, +\infty)$. График функции — это график $y=\log_3 x$, сдвинутый на 1 единицу вправо и на 1 единицу вверх. Вертикальная асимптота: $x=1$.

836. Решить графически уравнение:

1) $ \log_2 x = -x + 1 $;

2) $ \log_{\frac{1}{2}} x = 2x - 5 $;

3) $ \lg x = \sqrt{x} $;

4) $ \lg x = 2^{-x} $.

1) $\log_2 x = -x + 1$

Для решения данного уравнения графическим методом построим в одной системе координат графики двух функций: $y_1 = \log_2 x$ и $y_2 = -x + 1$. Решением уравнения будет абсцисса точки пересечения этих графиков.

1. График функции $y_1 = \log_2 x$ — это логарифмическая кривая. Функция является возрастающей, так как основание логарифма $2 > 1$. Область определения: $x > 0$. График проходит через ключевые точки: $(1, 0)$, $(2, 1)$, $(4, 2)$.

2. График функции $y_2 = -x + 1$ — это прямая линия. Функция является убывающей, так как угловой коэффициент равен $-1$. График можно построить по двум точкам, например, $(0, 1)$ и $(1, 0)$.

Построив оба графика, мы видим, что они пересекаются в одной точке. Легко проверить, что точка $(1, 0)$ принадлежит обоим графикам:
Для $y_1 = \log_2 x$: $\log_2 1 = 0$.
Для $y_2 = -x + 1$: $-1 + 1 = 0$.
Поскольку одна функция строго возрастает, а другая строго убывает, точка пересечения единственная.

Ответ: $x=1$.

2) $\log_{\frac{1}{2}} x = 2x - 5$

Построим в одной системе координат графики функций $y_1 = \log_{\frac{1}{2}} x$ и $y_2 = 2x - 5$. Абсцисса точки их пересечения будет решением уравнения.

1. График функции $y_1 = \log_{\frac{1}{2}} x$ — это логарифмическая кривая. Функция является убывающей, так как основание $0 < \frac{1}{2} < 1$. Область определения: $x > 0$. График проходит через точки: $(1, 0)$, $(2, -1)$, $(4, -2)$.

2. График функции $y_2 = 2x - 5$ — это прямая линия. Функция является возрастающей, так как угловой коэффициент $2 > 0$. График проходит через точки, например, $(2.5, 0)$ и $(2, -1)$.

Построив графики, находим их точку пересечения. Проверим точку с абсциссой $x=2$:
Для $y_1 = \log_{\frac{1}{2}} x$: $\log_{\frac{1}{2}} 2 = -1$.
Для $y_2 = 2x - 5$: $2 \cdot 2 - 5 = 4 - 5 = -1$.
Точка пересечения — $(2, -1)$. Так как одна функция строго убывает, а другая строго возрастает, решение единственное.

Ответ: $x=2$.

3) $\lg x = \sqrt{x}$

Построим в одной системе координат графики функций $y_1 = \lg x$ и $y_2 = \sqrt{x}$. Область определения уравнения: $x > 0$.

1. График функции $y_1 = \lg x$ (десятичный логарифм) — возрастающая логарифмическая кривая, проходящая через точки $(0.1, -1)$, $(1, 0)$, $(10, 1)$.

2. График функции $y_2 = \sqrt{x}$ — ветвь параболы. Функция возрастающая, проходит через точки $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(4, 2)$.

Сравним поведение функций.
В интервале $(0, 1)$ значения функции $y_1 = \lg x$ отрицательны, а значения $y_2 = \sqrt{x}$ положительны, поэтому пересечений нет.
При $x=1$, $y_1 = \lg 1 = 0$, а $y_2 = \sqrt{1} = 1$. График $y_2$ находится выше.
При $x>1$ обе функции возрастают, но функция $y_2 = \sqrt{x}$ растет быстрее и всегда остается выше графика $y_1 = \lg x$. Например, при $x=100$, $y_1 = \lg 100 = 2$, а $y_2 = \sqrt{100} = 10$.
Таким образом, графики функций не пересекаются.

Ответ: нет корней.

4) $\lg x = 2^{-x}$

Для решения уравнения построим графики функций $y_1 = \lg x$ и $y_2 = 2^{-x}$. Область определения: $x > 0$.

1. График функции $y_1 = \lg x$ — строго возрастающая логарифмическая кривая. Проходит через $(1, 0)$ и $(10, 1)$.

2. График функции $y_2 = 2^{-x}$ (или $y_2 = (\frac{1}{2})^x$) — строго убывающая показательная функция. Проходит через $(0, 1)$, $(1, 0.5)$, $(2, 0.25)$.

Так как функция $y_1 = \lg x$ строго возрастает, а функция $y_2 = 2^{-x}$ строго убывает, их графики могут пересечься не более чем в одной точке.
При $x=1$, $y_1(1)=\lg 1 = 0$, а $y_2(1) = 2^{-1} = 0.5$. То есть $y_1 < y_2$.
При $x=10$, $y_1(10)=\lg 10 = 1$, а $y_2(10) = 2^{-10} = \frac{1}{1024}$. То есть $y_1 > y_2$.
Поскольку функции непрерывны, а в точке $x=1$ один график выше другого, а в точке $x=10$ — наоборот, то между $x=1$ и $x=10$ должно быть одно пересечение.

Ответ: уравнение имеет один корень.

837. Построить график функции, найти её область определения и множество значений, указать промежутки монотонности:

1) $y = |\log_3 x|;$

2) $y = \log_3 |x|;$

3) $y = \log_2 |3 - x|;$

4) $y = |1 - \log_2 x|.$

1) $y = |\log_3 x|$

Для построения графика функции $y = |\log_3 x|$ сначала построим график основной логарифмической функции $y_0 = \log_3 x$. Это возрастающая функция, определенная для $x > 0$. График проходит через точки $(1, 0)$, $(3, 1)$, $(9, 2)$, $(1/3, -1)$. Ось $Oy$ ($x=0$) является вертикальной асимптотой.

Далее, применяем преобразование модуля ко всей функции: $y = |f(x)|$. Это означает, что часть графика $y_0 = \log_3 x$, которая лежит ниже оси абсцисс (где $y_0 < 0$), симметрично отражается относительно оси абсцисс. Часть графика, которая лежит выше или на оси абсцисс (где $y_0 \ge 0$), остается без изменений.

• При $x \ge 1$, $\log_3 x \ge 0$, поэтому $y = \log_3 x$.
• При $0 < x < 1$, $\log_3 x < 0$, поэтому $y = - \log_3 x$.

В точке $(1, 0)$ график имеет "излом" (точку минимума).

Область определения:
Аргумент логарифма должен быть строго положителен: $x > 0$.
$D(y) = (0; +\infty)$.

Множество значений:
Так как $\log_3 x$ может принимать любое действительное значение, его модуль $|\log_3 x|$ будет принимать любое неотрицательное значение.
$E(y) = [0; +\infty)$.

Промежутки монотонности:
- На промежутке $(0, 1]$ функция имеет вид $y = -\log_3 x$. Так как $\log_3 x$ возрастает, то $-\log_3 x$ убывает. Функция убывает.
- На промежутке $[1, +\infty)$ функция имеет вид $y = \log_3 x$. Это возрастающая функция.
Таким образом, функция убывает на $(0, 1]$ и возрастает на $[1, +\infty)$.

Ответ: Область определения $D(y) = (0; +\infty)$. Множество значений $E(y) = [0; +\infty)$. Функция убывает на промежутке $(0, 1]$ и возрастает на промежутке $[1, +\infty)$.

2) $y = \log_3 |x|$

Для построения графика функции $y = \log_3 |x|$ используется преобразование $y = f(|x|)$.

Сначала строим график функции $y_0 = \log_3 x$ для $x > 0$. Затем, поскольку функция $y = \log_3|x|$ является четной ($y(-x) = \log_3|-x| = \log_3|x| = y(x)$), ее график симметричен относительно оси ординат $Oy$. Мы отражаем построенную для $x>0$ часть графика относительно оси $Oy$, чтобы получить часть графика для $x < 0$. Ось $Oy$ ($x=0$) является вертикальной асимптотой.

Область определения:
Аргумент логарифма должен быть строго положителен: $|x| > 0$. Это неравенство выполняется для всех $x$, кроме $x=0$.
$D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Множество значений:
Аргумент функции $|x|$ принимает все значения из $(0; +\infty)$. Логарифм по основанию 3 от таких аргументов может принимать любое действительное значение.
$E(y) = (-\infty; +\infty)$.

Промежутки монотонности:
- На промежутке $(-\infty, 0)$ функция имеет вид $y = \log_3(-x)$. Это убывающая функция.
- На промежутке $(0, +\infty)$ функция имеет вид $y = \log_3 x$. Это возрастающая функция.
Таким образом, функция убывает на $(-\infty, 0)$ и возрастает на $(0, +\infty)$.

Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Множество значений $E(y) = (-\infty; +\infty)$. Функция убывает на промежутке $(-\infty, 0)$ и возрастает на промежутке $(0, +\infty)$.

3) $y = \log_2 |3 - x|$

Заметим, что $|3-x| = |-(x-3)| = |x-3|$. Таким образом, функция может быть записана как $y = \log_2|x-3|$.

График этой функции можно получить из графика $y = \log_2|x|$ (аналогичен графику из пункта 2, но с основанием 2) путем сдвига вправо на 3 единицы вдоль оси $Ox$. Прямая $x=3$ становится вертикальной асимптотой. График симметричен относительно прямой $x=3$.

• При $x > 3$, $x-3 > 0$, поэтому $y = \log_2(x-3)$.
• При $x < 3$, $x-3 < 0$, поэтому $|x-3| = -(x-3) = 3-x$, и $y = \log_2(3-x)$.

Область определения:
Аргумент логарифма должен быть строго положителен: $|3-x| > 0$, что означает $3-x \ne 0$, или $x \ne 3$.
$D(y) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.

Множество значений:
Аргумент функции $|3-x|$ принимает все значения из $(0; +\infty)$. Логарифм по основанию 2 от таких аргументов может принимать любое действительное значение.
$E(y) = (-\infty; +\infty)$.

Промежутки монотонности:
- На промежутке $(-\infty, 3)$ функция имеет вид $y = \log_2(3-x)$. Это убывающая функция.
- На промежутке $(3, +\infty)$ функция имеет вид $y = \log_2(x-3)$. Это возрастающая функция.
Таким образом, функция убывает на $(-\infty, 3)$ и возрастает на $(3, +\infty)$.

Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$. Множество значений $E(y) = (-\infty; +\infty)$. Функция убывает на промежутке $(-\infty, 3)$ и возрастает на промежутке $(3, +\infty)$.

4) $y = |1 - \log_2 x|$

Построение графика проведем поэтапно:

1. Строим график $y_0 = \log_2 x$. Это возрастающая функция с асимптотой $x=0$, проходящая через $(1, 0)$ и $(2, 1)$.
2. Строим график $y_1 = -\log_2 x$. Это отражение $y_0$ относительно оси $Ox$, убывающая функция.
3. Строим график $y_2 = 1 - \log_2 x$. Это сдвиг $y_1$ на 1 единицу вверх. Функция убывающая, пересекает ось $Ox$ в точке $x=2$ (т.к. $1-\log_2 2 = 0$).
4. Строим итоговый график $y = |1 - \log_2 x|$. Часть графика $y_2$, лежащая ниже оси $Ox$ (при $x>2$), отражается вверх. Часть, лежащая выше или на оси (при $0 < x \le 2$), остается на месте. График имеет "излом" в точке $(2, 0)$.

Область определения:
Аргумент логарифма должен быть строго положителен: $x > 0$.
$D(y) = (0; +\infty)$.

Множество значений:
Выражение $1 - \log_2 x$ принимает все действительные значения. Его модуль $|1 - \log_2 x|$ будет принимать все неотрицательные значения.
$E(y) = [0; +\infty)$.

Промежутки монотонности:
- На промежутке $(0, 2]$ имеем $1 - \log_2 x \ge 0$, поэтому $y = 1 - \log_2 x$. Это убывающая функция.
- На промежутке $[2, +\infty)$ имеем $1 - \log_2 x \le 0$, поэтому $y = -(1 - \log_2 x) = \log_2 x - 1$. Это возрастающая функция.
Таким образом, функция убывает на $(0, 2]$ и возрастает на $[2, +\infty)$.

Ответ: Область определения $D(y) = (0; +\infty)$. Множество значений $E(y) = [0; +\infty)$. Функция убывает на промежутке $(0, 2]$ и возрастает на промежутке $[2, +\infty)$.

838. Найти область определения функции:

1) $y = \log_2 |3 - x| - \log_2 |x^3 - 8|;$

2) $y = \log_{0,3} \sqrt{x+1} + \log_{0,4} (1 - 8x^3).$

1) Область определения функции $y = \log_2 |3 - x| - \log_2 |x^3 - 8|$ находится из условия, что аргументы логарифмов должны быть строго положительными. Функция определена, если одновременно выполняются два неравенства: $|3 - x| > 0$ и $|x^3 - 8| > 0$.
Первое неравенство $|3 - x| > 0$ выполняется для всех $x$, кроме тех, при которых выражение под модулем равно нулю. То есть, $3 - x \neq 0$, откуда $x \neq 3$.
Второе неравенство $|x^3 - 8| > 0$ также выполняется для всех $x$, кроме тех, при которых $x^3 - 8 = 0$. Решая уравнение $x^3 = 8$, находим $x = \sqrt[3]{8} = 2$. Таким образом, $x \neq 2$.
Область определения исходной функции — это множество всех действительных чисел, за исключением $x=2$ и $x=3$. В виде интервалов это записывается как объединение $(-\infty; 2) \cup (2; 3) \cup (3; +\infty)$.
Ответ: $(-\infty; 2) \cup (2; 3) \cup (3; +\infty)$.

2) Область определения функции $y = \log_{0.3} \sqrt{x+1} + \log_{0.4} (1 - 8x^3)$ является пересечением областей определения двух слагаемых.
1. Для слагаемого $\log_{0.3} \sqrt{x+1}$ должны выполняться два условия: выражение под корнем должно быть неотрицательным ($x+1 \ge 0$), а аргумент логарифма — строго положительным ($\sqrt{x+1} > 0$). Второе условие, $\sqrt{x+1} > 0$, является более строгим. Возведя обе его части в квадрат, получаем $x+1 > 0$, откуда $x > -1$.
2. Для слагаемого $\log_{0.4} (1 - 8x^3)$ аргумент логарифма должен быть строго положительным: $1 - 8x^3 > 0$. Решим это неравенство: $1 > 8x^3$, что эквивалентно $x^3 < \frac{1}{8}$. Извлекая кубический корень из обеих частей, получаем $x < \frac{1}{2}$.
Область определения исходной функции — это множество значений $x$, удовлетворяющих одновременно обоим условиям: $x > -1$ и $x < \frac{1}{2}$. Это соответствует интервалу $(-1; \frac{1}{2})$.
Ответ: $(-1; \frac{1}{2})$.