Номер 829, страница 256 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

829. 1) $ \log_3 x < 2; $

2) $ \log_{0,4} x > 2; $

3) $ \log_{\frac{1}{2}} x \ge 16; $

4) $ \log_{0,4} x \le 2. $

1) Решим неравенство $log_3 x < 2$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным, следовательно, $x > 0$.

Теперь преобразуем неравенство. Представим правую часть в виде логарифма с основанием 3:$2 = 2 \cdot log_3 3 = log_3 (3^2) = log_3 9$.

Неравенство принимает вид:$log_3 x < log_3 9$.

Основание логарифма $a=3$ больше 1 ($3 > 1$), поэтому логарифмическая функция $y=log_3 x$ является возрастающей. При переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства сохраняется:$x < 9$.

Для нахождения окончательного решения объединим полученное неравенство с ОДЗ в систему:$\begin{cases} x > 0 \\ x < 9 \end{cases}$

Решением этой системы является интервал $0 < x < 9$.

Ответ: $x \in (0; 9)$.

2) Решим неравенство $log_{0,4} x > 2$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием $x > 0$.

Представим правую часть неравенства в виде логарифма с основанием 0,4:$2 = 2 \cdot log_{0,4} 0,4 = log_{0,4} (0,4^2) = log_{0,4} 0,16$.

Неравенство принимает вид:$log_{0,4} x > log_{0,4} 0,16$.

Основание логарифма $a=0,4$ находится в интервале от 0 до 1 ($0 < 0,4 < 1$), поэтому логарифмическая функция $y=log_{0,4} x$ является убывающей. При переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства меняется на противоположный:$x < 0,16$.

Объединим полученное решение с ОДЗ в систему:$\begin{cases} x > 0 \\ x < 0,16 \end{cases}$

Решением системы является интервал $0 < x < 0,16$.

Ответ: $x \in (0; 0,16)$.

3) Решим неравенство $log_{\frac{1}{2}} x \ge 16$.

Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$.

Представим правую часть неравенства в виде логарифма с основанием $\frac{1}{2}$:$16 = 16 \cdot log_{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2}) = log_{\frac{1}{2}} ((\frac{1}{2})^{16})$.

Неравенство принимает вид:$log_{\frac{1}{2}} x \ge log_{\frac{1}{2}} ((\frac{1}{2})^{16})$.

Основание логарифма $a=\frac{1}{2}$ находится в интервале от 0 до 1 ($0 < \frac{1}{2} < 1$), поэтому логарифмическая функция является убывающей. При переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный:$x \le (\frac{1}{2})^{16}$.

Объединим полученное решение с ОДЗ в систему:$\begin{cases} x > 0 \\ x \le (\frac{1}{2})^{16} \end{cases}$

Решением системы является полуинтервал $0 < x \le (\frac{1}{2})^{16}$.

Ответ: $x \in (0; (\frac{1}{2})^{16}]$.

4) Решим неравенство $log_{0,4} x \le 2$.

Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$.

Представим правую часть неравенства в виде логарифма с основанием 0,4:$2 = log_{0,4} (0,4^2) = log_{0,4} 0,16$.

Неравенство принимает вид:$log_{0,4} x \le log_{0,4} 0,16$.

Основание логарифма $a=0,4$ находится в интервале от 0 до 1 ($0 < 0,4 < 1$), поэтому логарифмическая функция является убывающей. При переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный:$x \ge 0,16$.

Объединим полученное решение с ОДЗ:$\begin{cases} x > 0 \\ x \ge 0,16 \end{cases}$

Пересечением этих двух условий является $x \ge 0,16$.

Ответ: $x \in [0,16; +\infty)$.