Номер 828, страница 256 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

Решить неравенство (828–829).

828.

1) $\log_5 x > \log_5 3;$

2) $\log_{\frac{1}{5}} x \leq \log_{\frac{1}{5}} \frac{1}{8};$

3) $\lg x < \lg 4;$

4) $\ln x > \ln 0,5.$

1) Дано неравенство $ \log_5 x > \log_5 3 $.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным, поэтому $ x > 0 $.

Основание логарифма равно 5. Так как основание $ 5 > 1 $, логарифмическая функция $ y = \log_5 x $ является возрастающей. Это означает, что для выполнения неравенства $ \log_5 x > \log_5 3 $ необходимо, чтобы аргумент первого логарифма был больше аргумента второго. При переходе к аргументам знак неравенства сохраняется:

$ x > 3 $

Теперь объединим это решение с ОДЗ в систему неравенств:

$ \begin{cases} x > 3 \\ x > 0 \end{cases} $

Пересечением этих двух условий является $ x > 3 $.

Ответ: $ x \in (3, +\infty) $.

2) Дано неравенство $ \log_{\frac{1}{5}} x \le \log_{\frac{1}{5}} \frac{1}{8} $.

ОДЗ: аргумент логарифма $ x > 0 $.

Основание логарифма равно $ \frac{1}{5} $. Так как основание $ 0 < \frac{1}{5} < 1 $, логарифмическая функция $ y = \log_{\frac{1}{5}} x $ является убывающей. Это означает, что при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства меняется на противоположный:

$ x \ge \frac{1}{8} $

Объединим решение с ОДЗ:

$ \begin{cases} x \ge \frac{1}{8} \\ x > 0 \end{cases} $

Пересечением этих условий является $ x \ge \frac{1}{8} $.

Ответ: $ x \in [\frac{1}{8}, +\infty) $.

3) Дано неравенство $ \lg x < \lg 4 $.

Запись $ \lg x $ означает десятичный логарифм, то есть $ \log_{10} x $. ОДЗ: $ x > 0 $.

Основание логарифма равно 10. Так как основание $ 10 > 1 $, функция $ y = \lg x $ является возрастающей. Следовательно, знак неравенства при переходе к аргументам сохраняется:

$ x < 4 $

Объединим решение с ОДЗ в систему:

$ \begin{cases} x < 4 \\ x > 0 \end{cases} $

Решением системы является двойное неравенство $ 0 < x < 4 $.

Ответ: $ x \in (0, 4) $.

4) Дано неравенство $ \ln x > \ln 0.5 $.

Запись $ \ln x $ означает натуральный логарифм, то есть $ \log_e x $, где основание $ e \approx 2.718 $. ОДЗ: $ x > 0 $.

Так как основание $ e > 1 $, функция $ y = \ln x $ является возрастающей. Поэтому знак неравенства при переходе к аргументам сохраняется:

$ x > 0.5 $

Объединим полученное решение с ОДЗ:

$ \begin{cases} x > 0.5 \\ x > 0 \end{cases} $

Пересечением этих условий является $ x > 0.5 $.

Ответ: $ x \in (0.5, +\infty) $.