Номер 827, страница 255 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

827. Изобразить схематически график функции:

1) $y = \lg x$;

2) $y = \ln x$;

3) $y = \log_{0.4} x$;

4) $y = \log_{\frac{1}{5}} x$.

Для построения схематических графиков логарифмических функций вида $y = \log_a x$ необходимо помнить их основные свойства:

• Область определения функции: $x > 0$. Это означает, что все графики будут находиться в правой полуплоскости (справа от оси $Oy$).
• Ось $Oy$ (прямая $x=0$) является вертикальной асимптотой для всех графиков.
• Все графики проходят через точку $(1, 0)$, так как $\log_a 1 = 0$ для любого основания $a$.
• Поведение функции зависит от основания $a$:
  • Если $a > 1$, функция является возрастающей.
  • Если $0 < a < 1$, функция является убывающей.

1) $y = \lg x$

Данная функция является десятичным логарифмом, то есть логарифмом по основанию 10: $y = \log_{10} x$.

Основание $a = 10$. Поскольку $10 > 1$, функция является возрастающей.

График проходит через ключевые точки:

• $(1, 0)$, так как $\lg 1 = 0$.
• $(10, 1)$, так как $\lg 10 = 1$.

При приближении $x$ к нулю справа ($x \to 0^+$), значение $y$ стремится к минус бесконечности ($y \to -\infty$).

Схематически график представляет собой кривую, которая начинается в нижней части, близко к оси $Oy$, плавно возрастает, пересекая ось $Ox$ в точке $(1, 0)$, и продолжает медленно расти вправо и вверх.

Ответ: График функции $y=\lg x$ — это возрастающая кривая, определенная для $x>0$. Она проходит через точки $(1, 0)$ и $(10, 1)$ и имеет вертикальную асимптоту $x=0$.

2) $y = \ln x$

Данная функция является натуральным логарифмом, то есть логарифмом по основанию $e$: $y = \log_e x$, где $e \approx 2.718$.

Основание $a = e$. Поскольку $e > 1$, функция является возрастающей.

График проходит через ключевые точки:

• $(1, 0)$, так как $\ln 1 = 0$.
• $(e, 1)$, так как $\ln e = 1$.

При $x \to 0^+$, $y \to -\infty$.

Схематически график похож на график $y = \lg x$. Он также возрастает и проходит через точку $(1, 0)$. Однако, так как $e < 10$, график $y=\ln x$ растет "быстрее", чем $y = \lg x$, и при $x > 1$ расположен выше него.

Ответ: График функции $y=\ln x$ — это возрастающая кривая, определенная для $x>0$. Она проходит через точки $(1, 0)$ и $(e, 1)$ и имеет вертикальную асимптоту $x=0$.

3) $y = \log_{0.4} x$

Это логарифмическая функция с основанием $a=0.4$.

Поскольку $0 < 0.4 < 1$, функция является убывающей.

График проходит через ключевые точки:

• $(1, 0)$, так как $\log_{0.4} 1 = 0$.
• $(0.4, 1)$, так как $\log_{0.4} 0.4 = 1$.

При приближении $x$ к нулю справа ($x \to 0^+$), значение $y$ стремится к плюс бесконечности ($y \to +\infty$).

Схематически график представляет собой кривую, которая начинается в верхней части, близко к оси $Oy$, плавно убывает, пересекая ось $Ox$ в точке $(1, 0)$, и продолжает убывать вправо и вниз.

Ответ: График функции $y=\log_{0.4} x$ — это убывающая кривая, определенная для $x>0$. Она проходит через точки $(1, 0)$ и $(0.4, 1)$ и имеет вертикальную асимптоту $x=0$.

4) $y = \log_{\frac{1}{5}} x$

Это логарифмическая функция с основанием $a = \frac{1}{5} = 0.2$.

Поскольку $0 < 0.2 < 1$, функция является убывающей.

График проходит через ключевые точки:

• $(1, 0)$, так как $\log_{\frac{1}{5}} 1 = 0$.
• $(\frac{1}{5}, 1)$, так как $\log_{\frac{1}{5}} \frac{1}{5} = 1$.

При $x \to 0^+$, $y \to +\infty$.

Схематически график похож на график $y = \log_{0.4} x$. Он также убывает и проходит через точку $(1, 0)$. Поскольку основание $0.2$ меньше, чем $0.4$, график $y = \log_{\frac{1}{5}} x$ убывает "круче", чем график $y = \log_{0.4} x$.

Ответ: График функции $y=\log_{\frac{1}{5}} x$ — это убывающая кривая, определенная для $x>0$. Она проходит через точки $(1, 0)$ и $(\frac{1}{5}, 1)$ и имеет вертикальную асимптоту $x=0$.