Номер 834, страница 256 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

834. Найти область определения функции:

1) $y = \log_8 (x^2 - 3x - 4);$

2) $y = \log_{\sqrt{3}} (-x^2 + 5x + 6);$

3) $y = \log_{0,7} \frac{x^2 - 9}{x + 5};$

4) $y = \log_{\frac{1}{3}} \frac{x - 4}{x^2 + 4};$

5) $y = \log_{\pi} (2^x - 2);$

6) $y = \log_3 (3^{x-1} - 9).$

Область определения логарифмической функции $y = \log_a(f(x))$ находится из условия, что аргумент логарифма должен быть строго положительным, то есть $f(x) > 0$. Основание логарифма $a$ должно быть $a>0$ и $a \neq 1$, что выполняется во всех представленных задачах.

1) $y = \log_8 (x^2 - 3x - 4)$

Для нахождения области определения решим неравенство:

$x^2 - 3x - 4 > 0$

Сначала найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 3x - 4 = 0$. Используя теорему Виета, получаем корни $x_1 = 4$ и $x_2 = -1$.

Графиком функции $f(x) = x^2 - 3x - 4$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен. Следовательно, значения функции положительны вне интервала между корнями.

Таким образом, решение неравенства: $x \in (-\infty; -1) \cup (4; +\infty)$.

Ответ: $(-\infty; -1) \cup (4; +\infty)$.

2) $y = \log_{\sqrt{3}} (-x^2 + 5x + 6)$

Решим неравенство:

$-x^2 + 5x + 6 > 0$

Умножим обе части неравенства на $-1$ и сменим знак неравенства на противоположный:

$x^2 - 5x - 6 < 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 5x - 6 = 0$. По теореме Виета, корни равны $x_1 = 6$ и $x_2 = -1$.

Графиком функции $f(x) = x^2 - 5x - 6$ является парабола с ветвями вверх. Значения этой функции отрицательны между корнями.

Следовательно, решение неравенства: $x \in (-1; 6)$.

Ответ: $(-1; 6)$.

3) $y = \log_{0.7} \frac{x^2 - 9}{x+5}$

Решим неравенство:

$\frac{x^2 - 9}{x+5} > 0$

Разложим числитель на множители:

$\frac{(x-3)(x+3)}{x+5} > 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя ($x=3$, $x=-3$) и нуль знаменателя ($x=-5$). Отметим эти точки на числовой оси и определим знаки выражения в каждом из полученных интервалов:

• При $x > 3$, все множители положительны, дробь положительна.
• При $-3 < x < 3$, $(x-3)<0$, $(x+3)>0$, $(x+5)>0$, дробь отрицательна.
• При $-5 < x < -3$, $(x-3)<0$, $(x+3)<0$, $(x+5)>0$, дробь положительна.
• При $x < -5$, все множители отрицательны, дробь отрицательна.

Нас интересуют интервалы, где выражение больше нуля.

Таким образом, решение: $x \in (-5; -3) \cup (3; +\infty)$.

Ответ: $(-5; -3) \cup (3; +\infty)$.

4) $y = \log_{\frac{1}{3}} \frac{x-4}{x^2+4}$

Решим неравенство:

$\frac{x-4}{x^2+4} > 0$

Знаменатель $x^2+4$ всегда положителен, так как $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, и значит $x^2+4 \ge 4$.

Поскольку знаменатель дроби всегда положителен, знак дроби совпадает со знаком числителя. Поэтому неравенство равносильно следующему:

$x-4 > 0$

$x > 4$

Область определения: $x \in (4; +\infty)$.

Ответ: $(4; +\infty)$.

5) $y = \log_{\pi} (2^x - 2)$

Решим неравенство:

$2^x - 2 > 0$

$2^x > 2$

Так как основание степени $2 > 1$, показательная функция $f(t)=2^t$ является возрастающей. Поэтому, сравнивая степени, знак неравенства сохраняется:

$2^x > 2^1 \implies x > 1$

Область определения: $x \in (1; +\infty)$.

Ответ: $(1; +\infty)$.

6) $y = \log_3 (3^{x-1} - 9)$

Решим неравенство:

$3^{x-1} - 9 > 0$

$3^{x-1} > 9$

Представим $9$ как степень числа $3$: $9=3^2$.

$3^{x-1} > 3^2$

Так как основание степени $3 > 1$, показательная функция является возрастающей, поэтому можем сравнить показатели степеней, сохранив знак неравенства:

$x-1 > 2$

$x > 3$

Область определения: $x \in (3; +\infty)$.

Ответ: $(3; +\infty)$.