Номер 836, страница 256 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

836. Решить графически уравнение:

1) $ \log_2 x = -x + 1 $;

2) $ \log_{\frac{1}{2}} x = 2x - 5 $;

3) $ \lg x = \sqrt{x} $;

4) $ \lg x = 2^{-x} $.

1) $\log_2 x = -x + 1$

Для решения данного уравнения графическим методом построим в одной системе координат графики двух функций: $y_1 = \log_2 x$ и $y_2 = -x + 1$. Решением уравнения будет абсцисса точки пересечения этих графиков.

1. График функции $y_1 = \log_2 x$ — это логарифмическая кривая. Функция является возрастающей, так как основание логарифма $2 > 1$. Область определения: $x > 0$. График проходит через ключевые точки: $(1, 0)$, $(2, 1)$, $(4, 2)$.

2. График функции $y_2 = -x + 1$ — это прямая линия. Функция является убывающей, так как угловой коэффициент равен $-1$. График можно построить по двум точкам, например, $(0, 1)$ и $(1, 0)$.

Построив оба графика, мы видим, что они пересекаются в одной точке. Легко проверить, что точка $(1, 0)$ принадлежит обоим графикам:
Для $y_1 = \log_2 x$: $\log_2 1 = 0$.
Для $y_2 = -x + 1$: $-1 + 1 = 0$.
Поскольку одна функция строго возрастает, а другая строго убывает, точка пересечения единственная.

Ответ: $x=1$.

2) $\log_{\frac{1}{2}} x = 2x - 5$

Построим в одной системе координат графики функций $y_1 = \log_{\frac{1}{2}} x$ и $y_2 = 2x - 5$. Абсцисса точки их пересечения будет решением уравнения.

1. График функции $y_1 = \log_{\frac{1}{2}} x$ — это логарифмическая кривая. Функция является убывающей, так как основание $0 < \frac{1}{2} < 1$. Область определения: $x > 0$. График проходит через точки: $(1, 0)$, $(2, -1)$, $(4, -2)$.

2. График функции $y_2 = 2x - 5$ — это прямая линия. Функция является возрастающей, так как угловой коэффициент $2 > 0$. График проходит через точки, например, $(2.5, 0)$ и $(2, -1)$.

Построив графики, находим их точку пересечения. Проверим точку с абсциссой $x=2$:
Для $y_1 = \log_{\frac{1}{2}} x$: $\log_{\frac{1}{2}} 2 = -1$.
Для $y_2 = 2x - 5$: $2 \cdot 2 - 5 = 4 - 5 = -1$.
Точка пересечения — $(2, -1)$. Так как одна функция строго убывает, а другая строго возрастает, решение единственное.

Ответ: $x=2$.

3) $\lg x = \sqrt{x}$

Построим в одной системе координат графики функций $y_1 = \lg x$ и $y_2 = \sqrt{x}$. Область определения уравнения: $x > 0$.

1. График функции $y_1 = \lg x$ (десятичный логарифм) — возрастающая логарифмическая кривая, проходящая через точки $(0.1, -1)$, $(1, 0)$, $(10, 1)$.

2. График функции $y_2 = \sqrt{x}$ — ветвь параболы. Функция возрастающая, проходит через точки $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(4, 2)$.

Сравним поведение функций.
В интервале $(0, 1)$ значения функции $y_1 = \lg x$ отрицательны, а значения $y_2 = \sqrt{x}$ положительны, поэтому пересечений нет.
При $x=1$, $y_1 = \lg 1 = 0$, а $y_2 = \sqrt{1} = 1$. График $y_2$ находится выше.
При $x>1$ обе функции возрастают, но функция $y_2 = \sqrt{x}$ растет быстрее и всегда остается выше графика $y_1 = \lg x$. Например, при $x=100$, $y_1 = \lg 100 = 2$, а $y_2 = \sqrt{100} = 10$.
Таким образом, графики функций не пересекаются.

Ответ: нет корней.

4) $\lg x = 2^{-x}$

Для решения уравнения построим графики функций $y_1 = \lg x$ и $y_2 = 2^{-x}$. Область определения: $x > 0$.

1. График функции $y_1 = \lg x$ — строго возрастающая логарифмическая кривая. Проходит через $(1, 0)$ и $(10, 1)$.

2. График функции $y_2 = 2^{-x}$ (или $y_2 = (\frac{1}{2})^x$) — строго убывающая показательная функция. Проходит через $(0, 1)$, $(1, 0.5)$, $(2, 0.25)$.

Так как функция $y_1 = \lg x$ строго возрастает, а функция $y_2 = 2^{-x}$ строго убывает, их графики могут пересечься не более чем в одной точке.
При $x=1$, $y_1(1)=\lg 1 = 0$, а $y_2(1) = 2^{-1} = 0.5$. То есть $y_1 < y_2$.
При $x=10$, $y_1(10)=\lg 10 = 1$, а $y_2(10) = 2^{-10} = \frac{1}{1024}$. То есть $y_1 > y_2$.
Поскольку функции непрерывны, а в точке $x=1$ один график выше другого, а в точке $x=10$ — наоборот, то между $x=1$ и $x=10$ должно быть одно пересечение.

Ответ: уравнение имеет один корень.