Номер 841, страница 259 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

841. 1) $ \lg (x - 1) - \lg (2x - 11) = \lg 2; $

2) $ \lg (3x - 1) - \lg (x + 5) = \lg 5. $

1) Решим уравнение $\lg (x - 1) - \lg (2x - 11) = \lg 2$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго больше нуля.

$\begin{cases}x - 1 > 0 \\2x - 11 > 0\end{cases}$

Решим эту систему неравенств:

$\begin{cases}x > 1 \\2x > 11\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x > 1 \\x > 5.5\end{cases}$

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \in (5.5, +\infty)$.

Теперь преобразуем левую часть уравнения, используя свойство разности логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c}$:

$\lg\left(\frac{x - 1}{2x - 11}\right) = \lg 2$

Поскольку основания логарифмов в обеих частях уравнения одинаковы (равны 10), мы можем приравнять их аргументы:

$\frac{x - 1}{2x - 11} = 2$

Решим полученное дробно-рациональное уравнение, умножив обе части на знаменатель $2x - 11$ (который не равен нулю в силу ОДЗ):

$x - 1 = 2(2x - 11)$

$x - 1 = 4x - 22$

$22 - 1 = 4x - x$

$21 = 3x$

$x = 7$

Проверим, входит ли полученный корень в ОДЗ. Условие $7 > 5.5$ выполняется. Следовательно, корень $x=7$ является решением уравнения.

Ответ: $7$.

2) Решим уравнение $\lg (3x - 1) - \lg (x + 5) = \lg 5$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$\begin{cases}3x - 1 > 0 \\x + 5 > 0\end{cases}$

Решим систему:

$\begin{cases}3x > 1 \\x > -5\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x > \frac{1}{3} \\x > -5\end{cases}$

Общим решением системы является $x > \frac{1}{3}$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (\frac{1}{3}, +\infty)$.

Используем свойство разности логарифмов:

$\lg\left(\frac{3x - 1}{x + 5}\right) = \lg 5$

Приравниваем аргументы логарифмов:

$\frac{3x - 1}{x + 5} = 5$

Решаем уравнение:

$3x - 1 = 5(x + 5)$

$3x - 1 = 5x + 25$

$-1 - 25 = 5x - 3x$

$-26 = 2x$

$x = -13$

Проверим, удовлетворяет ли найденное значение ОДЗ. Условие $x > \frac{1}{3}$ не выполняется, так как $-13 < \frac{1}{3}$.

Следовательно, найденное значение $x = -13$ является посторонним корнем, и уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений.