Номер 838, страница 256 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

838. Найти область определения функции:

1) $y = \log_2 |3 - x| - \log_2 |x^3 - 8|;$

2) $y = \log_{0,3} \sqrt{x+1} + \log_{0,4} (1 - 8x^3).$

1) Область определения функции $y = \log_2 |3 - x| - \log_2 |x^3 - 8|$ находится из условия, что аргументы логарифмов должны быть строго положительными. Функция определена, если одновременно выполняются два неравенства: $|3 - x| > 0$ и $|x^3 - 8| > 0$.
Первое неравенство $|3 - x| > 0$ выполняется для всех $x$, кроме тех, при которых выражение под модулем равно нулю. То есть, $3 - x \neq 0$, откуда $x \neq 3$.
Второе неравенство $|x^3 - 8| > 0$ также выполняется для всех $x$, кроме тех, при которых $x^3 - 8 = 0$. Решая уравнение $x^3 = 8$, находим $x = \sqrt[3]{8} = 2$. Таким образом, $x \neq 2$.
Область определения исходной функции — это множество всех действительных чисел, за исключением $x=2$ и $x=3$. В виде интервалов это записывается как объединение $(-\infty; 2) \cup (2; 3) \cup (3; +\infty)$.
Ответ: $(-\infty; 2) \cup (2; 3) \cup (3; +\infty)$.

2) Область определения функции $y = \log_{0.3} \sqrt{x+1} + \log_{0.4} (1 - 8x^3)$ является пересечением областей определения двух слагаемых.
1. Для слагаемого $\log_{0.3} \sqrt{x+1}$ должны выполняться два условия: выражение под корнем должно быть неотрицательным ($x+1 \ge 0$), а аргумент логарифма — строго положительным ($\sqrt{x+1} > 0$). Второе условие, $\sqrt{x+1} > 0$, является более строгим. Возведя обе его части в квадрат, получаем $x+1 > 0$, откуда $x > -1$.
2. Для слагаемого $\log_{0.4} (1 - 8x^3)$ аргумент логарифма должен быть строго положительным: $1 - 8x^3 > 0$. Решим это неравенство: $1 > 8x^3$, что эквивалентно $x^3 < \frac{1}{8}$. Извлекая кубический корень из обеих частей, получаем $x < \frac{1}{2}$.
Область определения исходной функции — это множество значений $x$, удовлетворяющих одновременно обоим условиям: $x > -1$ и $x < \frac{1}{2}$. Это соответствует интервалу $(-1; \frac{1}{2})$.
Ответ: $(-1; \frac{1}{2})$.