Номер 843, страница 260 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

843. 1) $ \log_3 (5x + 3) = \log_3 (7x + 5) $;
2) $ \log_{\frac{1}{2}} (3x - 1) = \log_{\frac{1}{2}} (6x + 8) $.

1)

Дано логарифмическое уравнение: $\log_3(5x + 3) = \log_3(7x + 5)$.

Поскольку основания логарифмов в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их аргументы. Однако перед этим необходимо найти область допустимых значений (ОДЗ), так как выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным.

ОДЗ определяется системой неравенств:

$ \begin{cases} 5x + 3 > 0 \\ 7x + 5 > 0 \end{cases} $

Решим каждое неравенство:

$5x > -3 \implies x > -3/5$

$7x > -5 \implies x > -5/7$

Чтобы оба условия выполнялись одновременно, необходимо выбрать более строгое из них. Сравним $-3/5$ и $-5/7$. Приведя к общему знаменателю: $-3/5 = -21/35$ и $-5/7 = -25/35$. Так как $-21/35 > -25/35$, то и $-3/5 > -5/7$. Следовательно, ОДЗ: $x > -3/5$.

Теперь решим само уравнение, приравняв аргументы:

$5x + 3 = 7x + 5$

Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а свободные члены — в другую:

$3 - 5 = 7x - 5x$

$-2 = 2x$

$x = -1$

Проверим, принадлежит ли найденный корень $x = -1$ области допустимых значений $x > -3/5$.

Поскольку $-1 < -3/5$ (или $-1 < -0.6$), корень $x=-1$ не удовлетворяет ОДЗ и является посторонним.

Следовательно, уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений.

2)

Дано логарифмическое уравнение: $\log_{\frac{1}{2}}(3x - 1) = \log_{\frac{1}{2}}(6x + 8)$.

Аналогично предыдущему пункту, начнем с нахождения области допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными.

ОДЗ определяется системой неравенств:

$ \begin{cases} 3x - 1 > 0 \\ 6x + 8 > 0 \end{cases} $

Решим каждое неравенство:

$3x > 1 \implies x > 1/3$

$6x > -8 \implies x > -8/6 \implies x > -4/3$

Для того чтобы оба неравенства выполнялись, $x$ должен удовлетворять более сильному из них. Так как $1/3 > -4/3$, общая область допустимых значений: $x > 1/3$.

Теперь, когда ОДЗ найдена, приравняем аргументы логарифмов, так как их основания равны:

$3x - 1 = 6x + 8$

Решим полученное линейное уравнение:

$-1 - 8 = 6x - 3x$

$-9 = 3x$

$x = -3$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень $x = -3$ области допустимых значений $x > 1/3$.

Так как $-3 < 1/3$, корень $x = -3$ не входит в ОДЗ и является посторонним.

Следовательно, данное уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений.