Номер 850, страница 260 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

850. Решить систему уравнений:

1) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} \lg x - \lg y = 7, \\ \lg x + \lg y = 5. \end{cases} $
Область допустимых значений (ОДЗ) для данной системы: $x > 0$ и $y > 0$.
Данная система является системой линейных уравнений относительно $\lg x$ и $\lg y$. Для удобства решения введем замену переменных. Пусть $a = \lg x$ и $b = \lg y$. Система примет вид:
$ \begin{cases} a - b = 7, \\ a + b = 5. \end{cases} $
Сложим первое и второе уравнения системы:
$(a - b) + (a + b) = 7 + 5$
$2a = 12$
$a = 6$
Теперь подставим найденное значение $a$ в любое из уравнений системы, например, во второе:
$6 + b = 5$
$b = 5 - 6$
$b = -1$
Выполним обратную замену:
$\lg x = a \implies \lg x = 6 \implies x = 10^6 = 1000000$.
$\lg y = b \implies \lg y = -1 \implies y = 10^{-1} = \frac{1}{10} = 0.1$.
Полученные значения $x=1000000$ и $y=0.1$ удовлетворяют ОДЗ, так как оба положительны.
Ответ: $(1000000; 0.1)$.

2) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} \log_2 x + \frac{1}{2}\log_2 \frac{1}{y} = 4, \\ xy = 2. \end{cases} $
Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$ и $\frac{1}{y} > 0$, что эквивалентно $x > 0$ и $y > 0$.
Упростим первое уравнение системы, используя свойства логарифмов $\log_a \frac{1}{b} = -\log_a b$:
$\log_2 x + \frac{1}{2}(-\log_2 y) = 4$
$\log_2 x - \frac{1}{2}\log_2 y = 4$.
Из второго уравнения системы $xy = 2$ выразим переменную $y$ через $x$:
$y = \frac{2}{x}$ (это возможно, так как $x>0$, следовательно $x \ne 0$).
Подставим полученное выражение для $y$ в преобразованное первое уравнение:
$\log_2 x - \frac{1}{2}\log_2 \left(\frac{2}{x}\right) = 4$.
Используем свойство логарифма частного $\log_a \frac{b}{c} = \log_a b - \log_a c$:
$\log_2 x - \frac{1}{2}(\log_2 2 - \log_2 x) = 4$.
Так как $\log_2 2 = 1$, уравнение принимает вид:
$\log_2 x - \frac{1}{2}(1 - \log_2 x) = 4$.
Раскроем скобки и решим уравнение относительно $\log_2 x$:
$\log_2 x - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\log_2 x = 4$
$\frac{3}{2}\log_2 x = 4 + \frac{1}{2}$
$\frac{3}{2}\log_2 x = \frac{9}{2}$
Умножим обе части на $\frac{2}{3}$:
$\log_2 x = 3$.
Из определения логарифма находим $x$:
$x = 2^3 = 8$.
Теперь найдем $y$, используя выражение $y = \frac{2}{x}$:
$y = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.
Полученные значения $x=8$ и $y=\frac{1}{4}$ удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $(8; \frac{1}{4})$.