Номер 857, страница 261 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

857. 1) $log_2 x + log_x 4 = 3;$

2) $log_{2x-1} (2x - 3) = log_{2x-3} (2x - 1).$

1) $ \log_2 x + \log_x 4 = 3 $

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля, а основание логарифма должно быть строго больше нуля и не равно единице.
Из $ \log_2 x $ следует, что $ x > 0 $.
Из $ \log_x 4 $ следует, что $ x > 0 $ и $ x \neq 1 $.
Таким образом, ОДЗ: $ x > 0, x \neq 1 $.

Воспользуемся формулой перехода к новому основанию для второго слагаемого: $ \log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b} $. Приведем $ \log_x 4 $ к основанию 2:
$ \log_x 4 = \frac{\log_2 4}{\log_2 x} = \frac{2}{\log_2 x} $

Подставим это выражение в исходное уравнение:
$ \log_2 x + \frac{2}{\log_2 x} = 3 $

Сделаем замену переменной. Пусть $ t = \log_2 x $. Так как $ x \neq 1 $, то $ t \neq \log_2 1 = 0 $.
Уравнение принимает вид:
$ t + \frac{2}{t} = 3 $

Умножим обе части уравнения на $ t $ (так как $ t \neq 0 $):
$ t^2 + 2 = 3t $
$ t^2 - 3t + 2 = 0 $

Это квадратное уравнение. Найдем его корни по теореме Виета или через дискриминант.
Корни уравнения: $ t_1 = 1 $ и $ t_2 = 2 $.

Теперь выполним обратную замену:
1. Если $ t = 1 $, то $ \log_2 x = 1 $, откуда $ x = 2^1 = 2 $.
2. Если $ t = 2 $, то $ \log_2 x = 2 $, откуда $ x = 2^2 = 4 $.

Оба корня ($ x=2 $ и $ x=4 $) удовлетворяют ОДЗ ($ x > 0, x \neq 1 $).

Ответ: $ 2; 4 $.

2) $ \log_{2x-1} (2x-3) = \log_{2x-3} (2x-1) $

Определим ОДЗ. Основания и аргументы логарифмов должны быть положительными, а основания не должны равняться единице.
$ \begin{cases} 2x-1 > 0 \\ 2x-1 \neq 1 \\ 2x-3 > 0 \\ 2x-3 \neq 1 \end{cases} $

Решим систему неравенств:
$ \begin{cases} x > 1/2 \\ 2x \neq 2 \implies x \neq 1 \\ x > 3/2 \\ 2x \neq 4 \implies x \neq 2 \end{cases} $

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $ x > 3/2 $ и $ x \neq 2 $, что можно записать в виде $ x \in (3/2; 2) \cup (2; +\infty) $.

Воспользуемся свойством логарифмов $ \log_b a = \frac{1}{\log_a b} $.
Уравнение можно переписать в виде:
$ \log_{2x-1} (2x-3) = \frac{1}{\log_{2x-1} (2x-3)} $

Сделаем замену. Пусть $ y = \log_{2x-1} (2x-3) $. Уравнение примет вид:
$ y = \frac{1}{y} $
$ y^2 = 1 $
Отсюда $ y = 1 $ или $ y = -1 $.

Рассмотрим оба случая:
Случай 1: $ y = 1 $
$ \log_{2x-1} (2x-3) = 1 $
По определению логарифма, основание равно аргументу:
$ 2x-1 = 2x-3 $
$ -1 = -3 $
Это неверное равенство, следовательно, в этом случае решений нет.

Случай 2: $ y = -1 $
$ \log_{2x-1} (2x-3) = -1 $
По определению логарифма:
$ 2x-3 = (2x-1)^{-1} $
$ 2x-3 = \frac{1}{2x-1} $
$ (2x-3)(2x-1) = 1 $
$ 4x^2 - 2x - 6x + 3 = 1 $
$ 4x^2 - 8x + 2 = 0 $
$ 2x^2 - 4x + 1 = 0 $

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант:
$ D = (-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 16 - 8 = 8 $
$ x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{4} = \frac{2(2 \pm \sqrt{2})}{4} = \frac{2 \pm \sqrt{2}}{2} $
Получаем два корня: $ x_1 = \frac{2 + \sqrt{2}}{2} = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} $ и $ x_2 = \frac{2 - \sqrt{2}}{2} = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($ x > 3/2 $).
Для $ x_1 = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} $: $ \sqrt{2} \approx 1.414 $, значит $ x_1 \approx 1 + 0.707 = 1.707 $. Это значение больше, чем $ 3/2 = 1.5 $, и не равно 2. Корень подходит.
Для $ x_2 = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} $: $ x_2 \approx 1 - 0.707 = 0.293 $. Это значение меньше, чем $ 1.5 $. Корень не подходит.

Единственный корень, удовлетворяющий ОДЗ, это $ x = \frac{2 + \sqrt{2}}{2} $.

Ответ: $ \frac{2 + \sqrt{2}}{2} $.