Номер 861, страница 261 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

861. Найти все значения параметра $a$, при которых уравнение $5 \log_5 x + \log_a x - 4 \log_{25} x = a$ имеет корни.

Исходное уравнение: $5 \log_5 x + \log_a x - 4 \log_{25} x = a$.

В первую очередь определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$ и параметра $a$. Для существования логарифмов необходимо, чтобы их аргументы были строго положительными, а основания — строго положительными и не равными единице.
1. Аргумент логарифма: $x > 0$.
2. Основание логарифма: $a > 0$ и $a \neq 1$.

Для решения приведем все логарифмы в уравнении к единому основанию 5, используя формулы перехода к новому основанию: $\log_{b^k} M = \frac{1}{k} \log_b M$ и $\log_b M = \frac{\log_c M}{\log_c b}$.

$\log_{25} x = \log_{5^2} x = \frac{1}{2} \log_5 x$
$\log_a x = \frac{\log_5 x}{\log_5 a}$

Подставим преобразованные логарифмы обратно в исходное уравнение:$5 \log_5 x + \frac{\log_5 x}{\log_5 a} - 4 \left( \frac{1}{2} \log_5 x \right) = a$

Теперь упростим полученное выражение:$5 \log_5 x + \frac{\log_5 x}{\log_5 a} - 2 \log_5 x = a$$(5 - 2) \log_5 x + \frac{\log_5 x}{\log_5 a} = a$$3 \log_5 x + \frac{\log_5 x}{\log_5 a} = a$

Вынесем общий множитель $\log_5 x$ за скобки, чтобы выразить его:$\log_5 x \left( 3 + \frac{1}{\log_5 a} \right) = a$

Для удобства анализа введем замену: пусть $t = \log_5 x$. Так как $x > 0$, переменная $t$ может принимать любое действительное значение, то есть $t \in (-\infty; +\infty)$. Уравнение принимает вид:$t \cdot \left( 3 + \frac{1}{\log_5 a} \right) = a$

Это уравнение является линейным относительно переменной $t$. Уравнение имеет корни, если мы можем найти хотя бы одно значение $t$, удовлетворяющее ему. Проанализируем это уравнение.

Уравнение вида $k \cdot t = b$ имеет решение для $t$ тогда и только тогда, когда не выполняется случай "$k=0$ и $b \neq 0$".В нашем случае коэффициент $k = 3 + \frac{1}{\log_5 a}$ и свободный член $b = a$.

Найдем, при каких значениях $a$ уравнение не имеет корней. Это происходит, когда коэффициент при $t$ равен нулю, а правая часть — нет.$k = 0 \implies 3 + \frac{1}{\log_5 a} = 0$$\frac{1}{\log_5 a} = -3$$\log_5 a = -\frac{1}{3}$$a = 5^{-1/3} = \frac{1}{\sqrt[3]{5}}$

Проверим значение правой части $b=a$ при этом значении параметра:$a = \frac{1}{\sqrt[3]{5}} \neq 0$.Таким образом, при $a = \frac{1}{\sqrt[3]{5}}$ уравнение принимает вид $t \cdot 0 = \frac{1}{\sqrt[3]{5}}$, что является неверным равенством. Следовательно, при $a = \frac{1}{\sqrt[3]{5}}$ уравнение не имеет корней.

Во всех остальных случаях, удовлетворяющих ОДЗ ($a > 0, a \neq 1$), уравнение будет иметь решение. Если $3 + \frac{1}{\log_5 a} \neq 0$, то существует единственный корень $t = \frac{a}{3 + \frac{1}{\log_5 a}}$. Для любого действительного значения $t$ мы можем найти соответствующее значение $x = 5^t$, которое будет положительным и, следовательно, будет корнем исходного уравнения.

Таким образом, исходное уравнение имеет корни при всех значениях параметра $a$ из области допустимых значений, за исключением значения $a = \frac{1}{\sqrt[3]{5}}$.Собираем все условия воедино:
1. $a > 0$
2. $a \neq 1$
3. $a \neq \frac{1}{\sqrt[3]{5}}$

Записываем итоговый ответ в виде объединения интервалов.
Ответ: $a \in (0; \frac{1}{\sqrt[3]{5}}) \cup (\frac{1}{\sqrt[3]{5}}; 1) \cup (1; +\infty)$