Номер 868, страница 263 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

868. Найти область определения функции:

1) $y = \log_5 (x^2 - 4x + 3);$

2) $y = \log_6 \frac{3x+2}{1-x};$

3) $y = \sqrt{\lg x + \lg (x + 2)};$

4) $y = \sqrt{\lg (x - 1) + \lg (x + 1)}.$

1) $y = \log_5 (x^2 - 4x + 3)$

Область определения логарифмической функции — это множество значений переменной, при которых выражение под знаком логарифма строго положительно. Следовательно, нам нужно решить неравенство:

$x^2 - 4x + 3 > 0$

Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 4x + 3 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней равна 4, а их произведение равно 3. Легко подобрать корни: $x_1 = 1$, $x_2 = 3$.

Парабола $y = x^2 - 4x + 3$ имеет ветви, направленные вверх (коэффициент при $x^2$ положителен). Значит, квадратный трехчлен принимает положительные значения вне интервала между корнями.

Таким образом, решение неравенства: $x < 1$ или $x > 3$.

В виде интервалов это записывается как $(-\infty; 1) \cup (3; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 1) \cup (3; +\infty)$.

2) $y = \log_6 \frac{3x+2}{1-x}$

Аналогично первому пункту, выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным:

$\frac{3x+2}{1-x} > 0$

Решим это рациональное неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:

Нуль числителя: $3x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2/3$.

Нуль знаменателя: $1 - x = 0 \Rightarrow x = 1$.

Нанесем эти точки на числовую прямую, они разделят ее на три интервала: $(-\infty; -2/3)$, $(-2/3; 1)$ и $(1; +\infty)$. Определим знак выражения в каждом интервале:

• При $x < -2/3$ (например, $x=-1$): $\frac{3(-1)+2}{1-(-1)} = \frac{-1}{2} < 0$.
• При $-2/3 < x < 1$ (например, $x=0$): $\frac{3(0)+2}{1-0} = \frac{2}{1} > 0$.
• При $x > 1$ (например, $x=2$): $\frac{3(2)+2}{1-2} = \frac{8}{-1} < 0$.

Неравенство выполняется на интервале $(-2/3; 1)$.

Ответ: $x \in (-2/3; 1)$.

3) $y = \sqrt{\lg x + \lg(x+2)}$

Область определения этой функции задается системой из трех условий:

1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $\lg x + \lg(x+2) \ge 0$.
2. Выражение под знаком первого логарифма должно быть положительным: $x > 0$.
3. Выражение под знаком второго логарифма должно быть положительным: $x+2 > 0 \Rightarrow x > -2$.

Объединяя условия 2 и 3, получаем, что $x > 0$. Теперь решим первое неравенство с учетом этого условия.

Используем свойство логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$:

$\lg(x(x+2)) \ge 0$

Так как основание десятичного логарифма 10 > 1, то неравенство для аргументов будет иметь тот же знак:

$x(x+2) \ge 10^0$

$x^2 + 2x \ge 1$

$x^2 + 2x - 1 \ge 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + 2x - 1 = 0$ через дискриминант:

$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 4 + 4 = 8$

$x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = -1 \pm \sqrt{2}$

Парабола $y = x^2 + 2x - 1$ ветвями вверх, значит, неравенство $x^2 + 2x - 1 \ge 0$ выполняется при $x \le -1-\sqrt{2}$ или $x \ge -1+\sqrt{2}$.

Теперь найдем пересечение этого решения с условием $x > 0$.

Так как $-1-\sqrt{2} < 0$, а $-1+\sqrt{2} \approx -1+1.414 = 0.414 > 0$, то общим решением будет $x \ge -1+\sqrt{2}$.

Ответ: $x \in [-1+\sqrt{2}; +\infty)$.

4) $y = \sqrt{\lg(x-1) + \lg(x+1)}$

Область определения этой функции задается системой условий:

1. $\lg(x-1) + \lg(x+1) \ge 0$ (подкоренное выражение неотрицательно)
2. $x-1 > 0 \Rightarrow x > 1$ (аргумент первого логарифма положителен)
3. $x+1 > 0 \Rightarrow x > -1$ (аргумент второго логарифма положителен)

Объединяя условия 2 и 3, получаем более сильное ограничение $x > 1$. Решаем первое неравенство с учетом этого условия.

Применим свойство логарифмов:

$\lg((x-1)(x+1)) \ge 0$

$\lg(x^2 - 1) \ge 0$

Поскольку основание логарифма 10 > 1:

$x^2 - 1 \ge 10^0$

$x^2 - 1 \ge 1$

$x^2 - 2 \ge 0$

Корни уравнения $x^2 - 2 = 0$ равны $x_1 = -\sqrt{2}$ и $x_2 = \sqrt{2}$.

Парабола $y=x^2-2$ ветвями вверх, поэтому неравенство $x^2-2 \ge 0$ выполняется при $x \le -\sqrt{2}$ или $x \ge \sqrt{2}$.

Найдем пересечение этого решения с условием $x > 1$.

Так как $\sqrt{2} \approx 1.414 > 1$, то пересечением будет промежуток $x \ge \sqrt{2}$.

Ответ: $x \in [\sqrt{2}; +\infty)$.