Номер 869, страница 263 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

Решить неравенство (869—877).

869.

1) $\log_{5} \frac{3x-2}{x^2+1} > 0;$

2) $\log_{\frac{1}{2}} \frac{2x^2+3}{x-7} < 0;$

3) $\lg (3x-4) < \lg (2x+1);$

4) $\log_{\frac{1}{2}} (2x+3) > \log_{\frac{1}{2}} (x+1).$

1) Решим неравенство $ \log_{5} \frac{3x - 2}{x^2 + 1} > 0 $.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:

$ \frac{3x - 2}{x^2 + 1} > 0 $

Знаменатель $ x^2 + 1 $ всегда положителен при любых действительных значениях $x$, так как $x^2 \ge 0$. Следовательно, знак дроби определяется знаком числителя:

$ 3x - 2 > 0 $

$ 3x > 2 $

$ x > \frac{2}{3} $

Таким образом, ОДЗ: $ x \in (\frac{2}{3}, +\infty) $.

Теперь решим само неравенство. Представим 0 в виде логарифма по основанию 5:

$ \log_{5} \frac{3x - 2}{x^2 + 1} > \log_{5} 1 $

Так как основание логарифма $ 5 > 1 $, логарифмическая функция является возрастающей. Поэтому при переходе к аргументам знак неравенства сохраняется:

$ \frac{3x - 2}{x^2 + 1} > 1 $

Перенесем 1 в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$ \frac{3x - 2}{x^2 + 1} - 1 > 0 $

$ \frac{3x - 2 - (x^2 + 1)}{x^2 + 1} > 0 $

$ \frac{-x^2 + 3x - 3}{x^2 + 1} > 0 $

Так как знаменатель $ x^2 + 1 > 0 $, неравенство равносильно следующему:

$ -x^2 + 3x - 3 > 0 $

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$ x^2 - 3x + 3 < 0 $

Рассмотрим квадратичную функцию $ y = x^2 - 3x + 3 $. Найдем ее дискриминант:

$ D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4(1)(3) = 9 - 12 = -3 $

Поскольку дискриминант $ D < 0 $ и старший коэффициент $ a = 1 > 0 $, парабола $ y = x^2 - 3x + 3 $ полностью лежит выше оси Ox, то есть выражение $ x^2 - 3x + 3 $ всегда положительно.

Следовательно, неравенство $ x^2 - 3x + 3 < 0 $ не имеет решений.

Решение исходного неравенства является пересечением множества решений и ОДЗ. Пересечение пустого множества с любым другим множеством есть пустое множество.

Ответ: решений нет.

2) Решим неравенство $ \log_{\frac{1}{2}} \frac{2x^2 + 3}{x - 7} < 0 $.

Найдем ОДЗ. Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:

$ \frac{2x^2 + 3}{x - 7} > 0 $

Числитель $ 2x^2 + 3 $ всегда положителен при любых действительных значениях $x$, так как $x^2 \ge 0$, а значит $2x^2 + 3 \ge 3$. Следовательно, знак дроби определяется знаком знаменателя:

$ x - 7 > 0 $

$ x > 7 $

Таким образом, ОДЗ: $ x \in (7, +\infty) $.

Теперь решим неравенство. Представим 0 в виде логарифма по основанию $ \frac{1}{2} $:

$ \log_{\frac{1}{2}} \frac{2x^2 + 3}{x - 7} < \log_{\frac{1}{2}} 1 $

Так как основание логарифма $ 0 < \frac{1}{2} < 1 $, логарифмическая функция является убывающей. Поэтому при переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный:

$ \frac{2x^2 + 3}{x - 7} > 1 $

Учитывая ОДЗ ($x > 7$), знаменатель $ x - 7 $ положителен. Можем умножить обе части неравенства на $ x - 7 $, сохранив знак:

$ 2x^2 + 3 > x - 7 $

$ 2x^2 - x + 10 > 0 $

Рассмотрим квадратичную функцию $ y = 2x^2 - x + 10 $. Найдем ее дискриминант:

$ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(2)(10) = 1 - 80 = -79 $

Поскольку дискриминант $ D < 0 $ и старший коэффициент $ a = 2 > 0 $, парабола $ y = 2x^2 - x + 10 $ полностью лежит выше оси Ox, то есть выражение $ 2x^2 - x + 10 $ всегда положительно для любого $x \in \mathbb{R}$.

Решение неравенства $ 2x^2 - x + 10 > 0 $ — это $ x \in (-\infty, +\infty) $.

Итоговое решение — это пересечение множества $ x \in (-\infty, +\infty) $ и ОДЗ $ x \in (7, +\infty) $.

Ответ: $ (7, +\infty) $.

3) Решим неравенство $ \lg(3x - 4) < \lg(2x + 1) $.

Напомним, что $ \lg $ — это десятичный логарифм ($ \log_{10} $).

Найдем ОДЗ. Аргументы обоих логарифмов должны быть строго больше нуля. Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} 3x - 4 > 0 \\ 2x + 1 > 0 \end{cases} $

Из первого неравенства: $ 3x > 4 \implies x > \frac{4}{3} $.

Из второго неравенства: $ 2x > -1 \implies x > -\frac{1}{2} $.

Пересечением этих двух условий является $ x > \frac{4}{3} $. Таким образом, ОДЗ: $ x \in (\frac{4}{3}, +\infty) $.

Теперь решим само неравенство:

$ \lg(3x - 4) < \lg(2x + 1) $

Так как основание логарифма $ 10 > 1 $, логарифмическая функция является возрастающей. Поэтому при переходе к аргументам знак неравенства сохраняется:

$ 3x - 4 < 2x + 1 $

Решим это линейное неравенство:

$ 3x - 2x < 1 + 4 $

$ x < 5 $

Итоговое решение — это пересечение полученного результата $ x < 5 $ и ОДЗ $ x > \frac{4}{3} $.

Объединяя условия, получаем $ \frac{4}{3} < x < 5 $.

Ответ: $ (\frac{4}{3}, 5) $.

4) Решим неравенство $ \log_{\frac{1}{2}}(2x + 3) > \log_{\frac{1}{2}}(x + 1) $.

Найдем ОДЗ. Аргументы обоих логарифмов должны быть строго больше нуля. Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} 2x + 3 > 0 \\ x + 1 > 0 \end{cases} $

Из первого неравенства: $ 2x > -3 \implies x > -\frac{3}{2} $.

Из второго неравенства: $ x > -1 $.

Пересечением этих двух условий является $ x > -1 $. Таким образом, ОДЗ: $ x \in (-1, +\infty) $.

Теперь решим само неравенство:

$ \log_{\frac{1}{2}}(2x + 3) > \log_{\frac{1}{2}}(x + 1) $

Так как основание логарифма $ 0 < \frac{1}{2} < 1 $, логарифмическая функция является убывающей. Поэтому при переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный:

$ 2x + 3 < x + 1 $

Решим это линейное неравенство:

$ 2x - x < 1 - 3 $

$ x < -2 $

Итоговое решение — это пересечение полученного результата $ x < -2 $ и ОДЗ $ x > -1 $.

Множества $ x < -2 $ и $ x > -1 $ не имеют общих точек. Их пересечение пусто.

Ответ: решений нет.