Номер 864, страница 263 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

864. Найти область определения функции:

1) $y = \lg (3x - 2)$;

2) $y = \log_2 (7 - 5x)$;

3) $y = \log_{\frac{1}{2}} (x^2 - 2)$;

4) $y = \log_7 (4 - x^2)$.

Область определения логарифмической функции $y = \log_a(f(x))$ задается условием, что аргумент логарифма должен быть строго больше нуля, то есть $f(x) > 0$.

1) $y = \lg(3x - 2)$

Здесь $\lg$ обозначает десятичный логарифм (логарифм по основанию 10). Область определения функции находится из неравенства:
$3x - 2 > 0$
Переносим 2 в правую часть:
$3x > 2$
Делим обе части на 3:
$x > \frac{2}{3}$
Таким образом, область определения — это все значения $x$, которые больше $\frac{2}{3}$. В виде интервала это записывается как $(\frac{2}{3}; +\infty)$.
Ответ: $x \in (\frac{2}{3}; +\infty)$.

2) $y = \log_2(7 - 5x)$

Область определения функции находится из неравенства:
$7 - 5x > 0$
Переносим $5x$ в правую часть:
$7 > 5x$
Делим обе части на 5:
$\frac{7}{5} > x$, что эквивалентно $x < \frac{7}{5}$
Таким образом, область определения — это все значения $x$, которые меньше $\frac{7}{5}$. В виде интервала это записывается как $(-\infty; \frac{7}{5})$.
Ответ: $x \in (-\infty; \frac{7}{5})$.

3) $y = \log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 2)$

Область определения функции находится из неравенства:
$x^2 - 2 > 0$
Для решения этого квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 2 = 0$:
$x^2 = 2$
$x_1 = -\sqrt{2}$, $x_2 = \sqrt{2}$
Парабола $y = x^2 - 2$ ветвями направлена вверх, поэтому значения функции положительны вне интервала между корнями.
Следовательно, решением неравенства являются $x < -\sqrt{2}$ или $x > \sqrt{2}$. В виде объединения интервалов это записывается как $(-\infty; -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}; +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty; -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}; +\infty)$.

4) $y = \log_7(4 - x^2)$

Область определения функции находится из неравенства:
$4 - x^2 > 0$
Для решения этого квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $4 - x^2 = 0$:
$x^2 = 4$
$x_1 = -2$, $x_2 = 2$
Парабола $y = 4 - x^2$ ветвями направлена вниз, поэтому значения функции положительны внутри интервала между корнями.
Следовательно, решением неравенства является интервал $-2 < x < 2$. В виде интервала это записывается как $(-2; 2)$.
Ответ: $x \in (-2; 2)$.