Номер 862, страница 261 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

$3 \log_5 x + \log_a x - 4 \log_{25} x - a$ имеет корни.

862. Найти все значения $a$, при которых уравнение $\frac{\lg (ax)}{\lg (x+1)} = 2$ имеет ровно один корень.

Для начала определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$ и параметра $a$. Аргументы логарифмов должны быть строго положительными, а знаменатель дроби не должен равняться нулю. Получаем систему неравенств:
$ \begin{cases} ax > 0 \\ x + 1 > 0 \\ \lg(x + 1) \neq 0 \end{cases} $
Из второго неравенства следует, что $x > -1$.
Из третьего неравенства следует, что $x + 1 \neq 1$, то есть $x \neq 0$.
Объединяя эти два условия, получаем, что $x \in (-1, 0) \cup (0, \infty)$.

Рассмотрим первое неравенство $ax > 0$. Оно зависит от знака параметра $a$:
1. Если $a > 0$, то $ax > 0$ равносильно $x > 0$. С учетом остальных ограничений, ОДЗ для $x$ в этом случае: $x \in (0, \infty)$.
2. Если $a < 0$, то $ax > 0$ равносильно $x < 0$. С учетом остальных ограничений, ОДЗ для $x$ в этом случае: $x \in (-1, 0)$.
3. Если $a = 0$, то выражение $\lg(ax)$ не определено. Следовательно, $a \neq 0$.

Теперь преобразуем исходное уравнение:
$\frac{\lg(ax)}{\lg(x + 1)} = 2$
$\lg(ax) = 2 \lg(x + 1)$
Используя свойство логарифма $n \log_b(c) = \log_b(c^n)$, получаем:
$\lg(ax) = \lg((x + 1)^2)$
Так как логарифмическая функция является монотонной, мы можем приравнять аргументы:
$ax = (x + 1)^2$
$ax = x^2 + 2x + 1$
$x^2 + (2 - a)x + 1 = 0$

Мы получили квадратное уравнение относительно $x$. Исходное уравнение имеет ровно один корень, если полученное квадратное уравнение имеет ровно один корень, который удовлетворяет соответствующей ОДЗ.
Найдем дискриминант $D$ этого уравнения:
$D = (2 - a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 4 - 4a + a^2 - 4 = a^2 - 4a = a(a - 4)$.

Рассмотрим два случая, которые мы определили ранее.

Случай 1: $a > 0$
В этом случае ОДЗ для $x$ есть интервал $(0, \infty)$. Нам нужно, чтобы квадратное уравнение $x^2 + (2 - a)x + 1 = 0$ имело ровно один положительный корень.
Если $D = 0$, то есть $a(a - 4) = 0$, что при $a > 0$ дает $a = 4$. Уравнение имеет один (кратный) корень: $x = -\frac{2 - a}{2} = \frac{a - 2}{2}$.
При $a = 4$ корень равен $x = \frac{4 - 2}{2} = 1$. Этот корень $x=1$ принадлежит ОДЗ $(0, \infty)$. Следовательно, при $a=4$ исходное уравнение имеет ровно один корень.
Если $D > 0$, то есть $a(a - 4) > 0$, что при $a > 0$ дает $a > 4$. Уравнение имеет два различных действительных корня $x_1$ и $x_2$. По теореме Виета, их произведение $x_1 x_2 = 1 > 0$, а их сумма $x_1 + x_2 = -(2 - a) = a - 2$. Так как $a > 4$, сумма $a - 2 > 2 > 0$. Поскольку и сумма, и произведение корней положительны, оба корня $x_1$ и $x_2$ являются положительными. Оба корня входят в ОДЗ, и исходное уравнение имеет два решения. Этот случай нам не подходит.
Если $D < 0$, то есть $0 < a < 4$, уравнение не имеет действительных корней.
Таким образом, для $a > 0$ единственным подходящим значением является $a=4$.

Случай 2: $a < 0$
В этом случае ОДЗ для $x$ есть интервал $(-1, 0)$. Нам нужно, чтобы квадратное уравнение $x^2 + (2 - a)x + 1 = 0$ имело ровно один корень в интервале $(-1, 0)$.
Найдем дискриминант: $D = a(a - 4)$. Так как $a < 0$, то и $a - 4 < 0$. Следовательно, $D = a(a - 4) > 0$ для всех $a < 0$. Это означает, что при $a < 0$ квадратное уравнение всегда имеет два различных действительных корня $x_1$ и $x_2$.
По теореме Виета, их произведение $x_1 x_2 = 1 > 0$, а их сумма $x_1 + x_2 = a - 2$. Так как $a < 0$, сумма $a - 2 < -2 < 0$. Поскольку произведение положительно, а сумма отрицательна, оба корня $x_1$ и $x_2$ отрицательны.
Теперь нам нужно проверить, сколько из этих отрицательных корней попадает в интервал $(-1, 0)$.
Рассмотрим функцию $f(x) = x^2 + (2 - a)x + 1$. Это парабола с ветвями вверх.
Найдем значения функции на концах интервала:
$f(0) = 0^2 + (2 - a) \cdot 0 + 1 = 1 > 0$.
$f(-1) = (-1)^2 + (2 - a) \cdot (-1) + 1 = 1 - 2 + a + 1 = a$.
Так как мы рассматриваем случай $a < 0$, то $f(-1) = a < 0$.
Поскольку $f(-1) < 0$ и $f(0) > 0$, а $f(x)$ является непрерывной функцией (парабола), то на интервале $(-1, 0)$ находится ровно один корень уравнения $f(x) = 0$. Второй корень, так как он тоже отрицателен и парабола направлена вверх, будет меньше $-1$.
Следовательно, при любом значении $a < 0$ исходное уравнение имеет ровно один корень, который удовлетворяет ОДЗ.

Объединяя результаты анализа обоих случаев, получаем, что исходное уравнение имеет ровно один корень при $a < 0$ и при $a = 4$.

Ответ: $a \in (-\infty, 0) \cup \{4\}$.