Номер 866, страница 263 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

866. 1) $ \log x > \log 8 + 1; $

2) $ \log x > 2 - \log 4; $

3) $ \log_2 (x - 4) < 1; $

4) $ \log_{\frac{1}{5}} (3x - 5) > \log_{\frac{1}{5}} (x + 1). $

1) Исходное неравенство: $\log x > \lg 8 + 1$. В данном случае $\log x$ и $\lg x$ обозначают десятичный логарифм (логарифм по основанию 10).

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$x > 0$.

Теперь преобразуем правую часть неравенства. Представим число 1 в виде десятичного логарифма: $1 = \lg 10$.

Неравенство принимает вид:

$\lg x > \lg 8 + \lg 10$

Используем свойство суммы логарифмов $\lg a + \lg b = \lg(ab)$:

$\lg x > \lg(8 \cdot 10)$

$\lg x > \lg 80$

Так как основание логарифма 10 больше 1, функция $y = \lg x$ является возрастающей. Поэтому при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства сохраняется:

$x > 80$

Сравниваем полученное решение с ОДЗ ($x > 0$). Пересечением условий $x > 80$ и $x > 0$ является $x > 80$.

Ответ: $x \in (80; +\infty)$.

2) Исходное неравенство: $\lg x > 2 - \lg 4$.

ОДЗ: $x > 0$.

Перенесем $\lg 4$ в левую часть неравенства, изменив знак:

$\lg x + \lg 4 > 2$

Применим свойство суммы логарифмов:

$\lg(4x) > 2$

Представим число 2 в виде десятичного логарифма: $2 = \lg(10^2) = \lg 100$.

Неравенство принимает вид:

$\lg(4x) > \lg 100$

Основание логарифма 10 > 1, поэтому знак неравенства при переходе к аргументам сохраняется:

$4x > 100$

$x > \frac{100}{4}$

$x > 25$

Полученное решение $x > 25$ удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $x \in (25; +\infty)$.

3) Исходное неравенство: $\log_2(x-4) < 1$.

ОДЗ: аргумент логарифма должен быть положителен:

$x - 4 > 0 \implies x > 4$.

Представим 1 в виде логарифма по основанию 2: $1 = \log_2 2$.

Неравенство принимает вид:

$\log_2(x-4) < \log_2 2$

Основание логарифма 2 > 1, поэтому функция $y = \log_2 x$ возрастающая, и знак неравенства сохраняется:

$x - 4 < 2$

$x < 2 + 4$

$x < 6$

Теперь найдем пересечение полученного решения с ОДЗ. Составим систему неравенств:

$\begin{cases} x > 4 \\ x < 6 \end{cases}$

Решением системы является интервал $4 < x < 6$.

Ответ: $x \in (4; 6)$.

4) Исходное неравенство: $\log_{\frac{1}{5}}(3x - 5) > \log_{\frac{1}{5}}(x + 1)$.

Найдем ОДЗ. Аргументы обоих логарифмов должны быть строго положительны. Составим систему неравенств:

$\begin{cases} 3x - 5 > 0 \\ x + 1 > 0 \end{cases}$

Решаем эту систему:

$\begin{cases} 3x > 5 \\ x > -1 \end{cases} \implies \begin{cases} x > \frac{5}{3} \\ x > -1 \end{cases}$

Пересечением этих двух условий является $x > \frac{5}{3}$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (\frac{5}{3}; +\infty)$.

Теперь решаем само неравенство. Основание логарифма $\frac{1}{5}$ меньше 1 (но больше 0). Функция $y = \log_{\frac{1}{5}}x$ является убывающей. Поэтому при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства меняется на противоположный:

$3x - 5 < x + 1$

$3x - x < 1 + 5$

$2x < 6$

$x < 3$

Найдем пересечение полученного решения $x < 3$ с ОДЗ $x > \frac{5}{3}$:

$\begin{cases} x > \frac{5}{3} \\ x < 3 \end{cases}$

Решением системы является интервал $\frac{5}{3} < x < 3$.

Ответ: $x \in (\frac{5}{3}; 3)$.