Номер 872, страница 264 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

872. 1) $log_{\frac{1}{3}} log_2 x^2 > 0;$

2) $log_3 log_{\frac{1}{2}} (x^2 - 1) < 1.$

1) $\log_{\frac{1}{3}} \log_2 x^2 > 0$

Данное неравенство представляет собой сложный логарифм. Решим его, последовательно находя область допустимых значений (ОДЗ) и упрощая неравенство.

Во-первых, аргумент любого логарифма должен быть строго положительным. Это дает нам систему условий для ОДЗ:

$\begin{cases} x^2 > 0 \\ \log_2 x^2 > 0 \end{cases}$

Из первого условия $x^2 > 0$ следует, что $x \neq 0$.

Решим второе условие: $\log_2 x^2 > 0$. Так как основание логарифма $2 > 1$, неравенство равносильно $x^2 > 2^0$, то есть $x^2 > 1$. Решением этого неравенства является $x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$.

Общая ОДЗ является пересечением этих условий, то есть $x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$.

Теперь решим исходное неравенство: $\log_{\frac{1}{3}} \log_2 x^2 > 0$.

Представим правую часть как логарифм с тем же основанием: $0 = \log_{\frac{1}{3}} 1$.

$\log_{\frac{1}{3}} (\log_2 x^2) > \log_{\frac{1}{3}} 1$

Поскольку основание логарифма $\frac{1}{3} < 1$, при переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный:

$\log_2 x^2 < 1$

Представим правую часть как логарифм с основанием 2: $1 = \log_2 2$.

$\log_2 x^2 < \log_2 2$

Основание $2 > 1$, поэтому знак неравенства сохраняется:

$x^2 < 2 \implies x^2 - 2 < 0 \implies (x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2}) < 0$

Решением этого неравенства является интервал $x \in (-\sqrt{2}, \sqrt{2})$.

Для получения окончательного ответа найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:

$\begin{cases} x \in (-\sqrt{2}, \sqrt{2}) \\ x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty) \end{cases}$

Пересечением этих множеств является $(-\sqrt{2}, -1) \cup (1, \sqrt{2})$.

Ответ: $x \in (-\sqrt{2}, -1) \cup (1, \sqrt{2})$

2) $\log_3 \log_{\frac{1}{2}} (x^2 - 1) < 1$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ), исходя из того, что аргументы логарифмов должны быть положительными:

$\begin{cases} x^2 - 1 > 0 \\ \log_{\frac{1}{2}} (x^2 - 1) > 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $x^2 - 1 > 0 \implies x^2 > 1 \implies x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$.

Решим второе неравенство: $\log_{\frac{1}{2}} (x^2 - 1) > 0$. Так как основание $\frac{1}{2} < 1$, знак неравенства меняется: $x^2 - 1 < (\frac{1}{2})^0 \implies x^2 - 1 < 1 \implies x^2 < 2$. Решением является $x \in (-\sqrt{2}, \sqrt{2})$.

ОДЗ является пересечением решений этих двух неравенств: $x \in (-\sqrt{2}, -1) \cup (1, \sqrt{2})$.

Теперь решим исходное неравенство: $\log_3 \log_{\frac{1}{2}} (x^2 - 1) < 1$.

Основание внешнего логарифма $3 > 1$, поэтому знак неравенства сохраняется:

$\log_{\frac{1}{2}} (x^2 - 1) < 3^1 \implies \log_{\frac{1}{2}} (x^2 - 1) < 3$

Теперь решим это неравенство. Основание $\frac{1}{2} < 1$, поэтому знак неравенства меняется на противоположный:

$x^2 - 1 > (\frac{1}{2})^3$

$x^2 - 1 > \frac{1}{8}$

$x^2 > 1 + \frac{1}{8} \implies x^2 > \frac{9}{8}$

Решением этого неравенства является $x \in (-\infty, -\sqrt{\frac{9}{8}}) \cup (\sqrt{\frac{9}{8}}, \infty)$, или $x \in (-\infty, -\frac{3\sqrt{2}}{4}) \cup (\frac{3\sqrt{2}}{4}, \infty)$.

Для получения окончательного ответа найдем пересечение полученного решения с ОДЗ.

Сравним граничные точки: $1 < \frac{3\sqrt{2}}{4} \approx 1.06$ и $\frac{3\sqrt{2}}{4} \approx 1.06 < \sqrt{2} \approx 1.41$.

Таким образом, мы ищем пересечение множеств:

$\left( (-\infty, -\frac{3\sqrt{2}}{4}) \cup (\frac{3\sqrt{2}}{4}, \infty) \right) \cap \left( (-\sqrt{2}, -1) \cup (1, \sqrt{2}) \right)$

Это дает нам два интервала:

1. $(-\sqrt{2}, -1) \cap (-\infty, -\frac{3\sqrt{2}}{4}) = (-\sqrt{2}, -\frac{3\sqrt{2}}{4})$

2. $(1, \sqrt{2}) \cap (\frac{3\sqrt{2}}{4}, \infty) = (\frac{3\sqrt{2}}{4}, \sqrt{2})$

Объединяя их, получаем итоговое решение.

Ответ: $x \in (-\sqrt{2}, -\frac{3\sqrt{2}}{4}) \cup (\frac{3\sqrt{2}}{4}, \sqrt{2})$