Номер 876, страница 264 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

876. $\frac{2}{3^x - 1} \le \frac{7}{9^x - 2}$

Данное неравенство является показательным. $$ \frac{2}{3^x - 1} \le \frac{7}{9^x - 2} $$ Для его решения сделаем замену переменной. Заметим, что $9^x = (3^2)^x = (3^x)^2$.

Пусть $t = 3^x$. Поскольку показательная функция $y=a^x$ при $a>0, a \neq 1$ принимает только положительные значения, то $t > 0$. С учетом замены, исходное неравенство принимает вид: $$ \frac{2}{t - 1} \le \frac{7}{t^2 - 2} $$

Перед решением определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $t$. Знаменатели дробей не могут быть равны нулю: $t - 1 \neq 0 \implies t \neq 1$ $t^2 - 2 \neq 0 \implies t^2 \neq 2 \implies t \neq \sqrt{2}$ (учитывая, что $t > 0$).

Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем их к общему знаменателю: $$ \frac{2}{t - 1} - \frac{7}{t^2 - 2} \le 0 $$ $$ \frac{2(t^2 - 2) - 7(t - 1)}{(t - 1)(t^2 - 2)} \le 0 $$ $$ \frac{2t^2 - 4 - 7t + 7}{(t - 1)(t^2 - 2)} \le 0 $$ $$ \frac{2t^2 - 7t + 3}{(t - 1)(t^2 - 2)} \le 0 $$

Разложим числитель и знаменатель на множители. Найдем корни числителя $2t^2 - 7t + 3 = 0$ через дискриминант: $D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25 = 5^2$. Корни $t_1 = \frac{7 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ и $t_2 = \frac{7 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3$. Следовательно, $2t^2 - 7t + 3 = 2(t - \frac{1}{2})(t - 3)$.

Знаменатель $t^2 - 2$ раскладывается по формуле разности квадратов: $t^2 - 2 = (t - \sqrt{2})(t + \sqrt{2})$. Неравенство приобретает вид: $$ \frac{2(t - \frac{1}{2})(t - 3)}{(t - 1)(t - \sqrt{2})(t + \sqrt{2})} \le 0 $$

Так как по условию замены $t > 0$, множитель $(t + \sqrt{2})$ всегда положителен. Можем разделить обе части неравенства на $2(t + \sqrt{2})$ без изменения знака неравенства: $$ \frac{(t - \frac{1}{2})(t - 3)}{(t - 1)(t - \sqrt{2})} \le 0 $$

Решим полученное рациональное неравенство методом интервалов. На числовой оси отметим нули числителя (точки $t = \frac{1}{2}, t = 3$, они будут входить в решение) и нули знаменателя (точки $t = 1, t = \sqrt{2}$, они будут выколоты). Расположим точки в порядке возрастания: $\frac{1}{2}, 1, \sqrt{2}, 3$. Определим знаки выражения на получившихся интервалах, учитывая, что $t>0$:

• При $t \in (3, +\infty)$ выражение положительно.
• При $t \in (\sqrt{2}, 3]$ выражение отрицательно или равно нулю. Этот интервал подходит.
• При $t \in (1, \sqrt{2})$ выражение положительно.
• При $t \in [\frac{1}{2}, 1)$ выражение отрицательно или равно нулю. Этот интервал подходит.
• При $t \in (0, \frac{1}{2})$ выражение положительно.

Таким образом, решение для $t$: $t \in [\frac{1}{2}, 1) \cup (\sqrt{2}, 3]$.

Выполним обратную замену $t = 3^x$. Это приводит к совокупности двух систем неравенств: $$ \left[ \begin{array}{l} \frac{1}{2} \le 3^x < 1 \\ \sqrt{2} < 3^x \le 3 \end{array} \right. $$

Решим первое двойное неравенство: $\frac{1}{2} \le 3^x < 1$. Прологарифмируем все части по основанию 3. Так как основание $3 > 1$, знаки неравенства сохраняются. $$ \log_3(\frac{1}{2}) \le \log_3(3^x) < \log_3(1) $$ $$ -\log_3(2) \le x < 0 $$

Решим второе двойное неравенство: $\sqrt{2} < 3^x \le 3$. Аналогично логарифмируем по основанию 3: $$ \log_3(\sqrt{2}) < \log_3(3^x) \le \log_3(3) $$ $$ \log_3(2^{1/2}) < x \le 1 $$ $$ \frac{1}{2}\log_3(2) < x \le 1 $$

Объединение найденных решений для $x$ является ответом к исходному неравенству.

Ответ: $x \in [-\log_3(2); 0) \cup (\frac{1}{2}\log_3(2); 1]$.