Номер 881, страница 264 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

881. 1) $(0.1)^{-\lg 0.3}$

2) $10^{-\lg 4}$

3) $5^{-\log_5 3}$

4) $\left(\frac{1}{6}\right)^{-\log_6 4}$

1) Чтобы вычислить $(0,1)^{-\lg 0,3}$, мы будем использовать основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$.
Во-первых, представим основание степени $0,1$ в виде степени числа 10: $0,1 = 10^{-1}$.
Во-вторых, вспомним, что $\lg$ обозначает десятичный логарифм, то есть $\lg 0,3 = \log_{10} 0,3$.
Теперь подставим это в исходное выражение:
$(0,1)^{-\lg 0,3} = (10^{-1})^{-\log_{10} 0,3}$
Используя свойство степеней $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, мы можем перемножить показатели:
$10^{(-1) \cdot (-\log_{10} 0,3)} = 10^{\log_{10} 0,3}$
Наконец, применяем основное логарифмическое тождество:
$10^{\log_{10} 0,3} = 0,3$
Ответ: 0,3

2) Для вычисления $10^{-\lg 4}$ воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ и основным логарифмическим тождеством.
Преобразуем выражение:
$10^{-\lg 4} = \frac{1}{10^{\lg 4}}$
Знаменатель $10^{\lg 4}$ можно упростить. Так как $\lg 4 = \log_{10} 4$, по основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$ имеем:
$10^{\log_{10} 4} = 4$
Подставив это значение обратно, получаем:
$\frac{1}{4}$
Ответ: $\frac{1}{4}$

3) Для выражения $5^{-\log_5 3}$ применим тот же подход, что и в предыдущем задании.
Используем свойство степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:
$5^{-\log_5 3} = \frac{1}{5^{\log_5 3}}$
Теперь применим основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$ к знаменателю. Здесь основание степени (5) совпадает с основанием логарифма (5).
$5^{\log_5 3} = 3$
Таким образом, результат:
$\frac{1}{3}$
Ответ: $\frac{1}{3}$

4) Чтобы решить $(\frac{1}{6})^{-\log_6 4}$, необходимо привести основание степени к основанию логарифма.
Представим основание $\frac{1}{6}$ как степень числа 6: $\frac{1}{6} = 6^{-1}$.
Подставим это в исходное выражение:
$(\frac{1}{6})^{-\log_6 4} = (6^{-1})^{-\log_6 4}$
Теперь воспользуемся свойством степеней $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ и перемножим показатели:
$6^{(-1) \cdot (-\log_6 4)} = 6^{\log_6 4}$
Основание степени (6) и основание логарифма (6) совпадают, поэтому мы можем применить основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$:
$6^{\log_6 4} = 4$
Ответ: 4