Номер 884, страница 265 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

884. Построить график функции:

1) $y = \log_4 x$;

2) $y = \log_{\frac{1}{4}} x$.

Является ли данная функция возрастающей (убывающей)?

При каких значениях x функция принимает положительные (отрицательные) значения? значение, равное нулю?

1) $y = \log_4 x$

Для построения графика функции $y = \log_4 x$ определим ее основные свойства и найдем несколько ключевых точек.
Область определения функции: $x > 0$. Это значит, что график полностью расположен в правой полуплоскости.
Найдем точку пересечения с осью абсцисс (Ox), где $y=0$. Решим уравнение $\log_4 x = 0$, откуда по определению логарифма $x = 4^0 = 1$. Точка пересечения с осью Ox: $(1, 0)$.
Ось ординат (Oy), то есть прямая $x=0$, является вертикальной асимптотой для графика функции, так как при $x$, стремящемся к 0 справа, $y$ стремится к $-\infty$.
Составим таблицу значений для нескольких точек:

• при $x = 1/4$, $y = \log_4(1/4) = \log_4(4^{-1}) = -1$;
• при $x = 1$, $y = \log_4(1) = 0$;
• при $x = 4$, $y = \log_4(4) = 1$;
• при $x = 16$, $y = \log_4(16) = 2$.

Нанеся точки $(1/4, -1)$, $(1, 0)$, $(4, 1)$, $(16, 2)$ на координатную плоскость и соединив их плавной кривой, которая приближается к оси Oy, но не пересекает ее, получим график функции.

Является ли данная функция возрастающей (убывающей)?
Основание логарифма $a=4$. Так как $a > 1$, функция является возрастающей на всей своей области определения $(0, +\infty)$. Это означает, что для любых $x_1$ и $x_2$ из области определения, если $x_2 > x_1$, то и $\log_4 x_2 > \log_4 x_1$.

При каких значениях x функция принимает положительные (отрицательные) значения? значение, равное нулю?
Функция равна нулю при $x=1$, так как $\log_4 1 = 0$.
Функция принимает положительные значения, когда $y > 0$, то есть $\log_4 x > 0$. Представим 0 как $\log_4 1$. Получим $\log_4 x > \log_4 1$. Так как функция возрастающая (основание $4>1$), то $x > 1$.
Функция принимает отрицательные значения, когда $y < 0$, то есть $\log_4 x < 0$. Аналогично, $\log_4 x < \log_4 1$. Так как функция возрастающая, то $x < 1$. Учитывая область определения $x>0$, получаем $0 < x < 1$.
Ответ: Функция является возрастающей. Она принимает положительные значения при $x \in (1, +\infty)$, отрицательные значения при $x \in (0, 1)$ и значение, равное нулю, при $x=1$.

2) $y = \log_{\frac{1}{4}} x$

Для построения графика функции $y = \log_{\frac{1}{4}} x$ определим ее свойства.
Область определения функции: $x > 0$. График расположен в правой полуплоскости.
Найдем точку пересечения с осью Ox ($y=0$). Решим уравнение $\log_{\frac{1}{4}} x = 0$, откуда $x = (\frac{1}{4})^0 = 1$. Точка пересечения с осью Ox: $(1, 0)$.
Ось Oy ($x=0$) является вертикальной асимптотой. При $x$, стремящемся к 0 справа, $y$ стремится к $+\infty$.
Составим таблицу значений:

• при $x = 1/4$, $y = \log_{\frac{1}{4}}(1/4) = 1$;
• при $x = 1$, $y = \log_{\frac{1}{4}}(1) = 0$;
• при $x = 4$, $y = \log_{\frac{1}{4}}(4) = \log_{\frac{1}{4}}((\frac{1}{4})^{-1}) = -1$;
• при $x = 16$, $y = \log_{\frac{1}{4}}(16) = \log_{\frac{1}{4}}((\frac{1}{4})^{-2}) = -2$.

Нанеся точки $(1/4, 1)$, $(1, 0)$, $(4, -1)$, $(16, -2)$ и соединив их плавной кривой, получим график. Можно также заметить, что $\log_{\frac{1}{4}} x = \log_{4^{-1}} x = -\log_4 x$. Это означает, что график функции $y = \log_{\frac{1}{4}} x$ симметричен графику $y = \log_4 x$ относительно оси Ox.

Является ли данная функция возрастающей (убывающей)?
Основание логарифма $a = \frac{1}{4}$. Так как $0 < a < 1$, функция является убывающей на всей своей области определения $(0, +\infty)$. Это означает, что для любых $x_1$ и $x_2$ из области определения, если $x_2 > x_1$, то $\log_{\frac{1}{4}} x_2 < \log_{\frac{1}{4}} x_1$.

При каких значениях x функция принимает положительные (отрицательные) значения? значение, равное нулю?
Функция равна нулю при $x=1$, так как $\log_{\frac{1}{4}} 1 = 0$.
Функция принимает положительные значения, когда $y > 0$, то есть $\log_{\frac{1}{4}} x > 0$. Представим 0 как $\log_{\frac{1}{4}} 1$. Получим $\log_{\frac{1}{4}} x > \log_{\frac{1}{4}} 1$. Так как функция убывающая (основание $0 < 1/4 < 1$), знак неравенства меняется на противоположный: $x < 1$. С учетом области определения $x>0$, получаем $0 < x < 1$.
Функция принимает отрицательные значения, когда $y < 0$, то есть $\log_{\frac{1}{4}} x < 0$. Аналогично, $\log_{\frac{1}{4}} x < \log_{\frac{1}{4}} 1$. Так как функция убывающая, то $x > 1$.
Ответ: Функция является убывающей. Она принимает положительные значения при $x \in (0, 1)$, отрицательные значения при $x \in (1, +\infty)$ и значение, равное нулю, при $x=1$.