Номер 886, страница 265 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

886. Решить графически уравнение:

1) $\log_3 x = 5 - x;$

2) $\log_{\frac{1}{3}} x = 3x.$

1)

Для того чтобы решить уравнение $log_3 x = 5 - x$ графически, построим в одной системе координат графики двух функций: $y_1 = \log_3 x$ и $y_2 = 5 - x$. Решением уравнения будет абсцисса (координата $x$) точки пересечения этих графиков.

1. Построим график функции $y_1 = \log_3 x$. Это логарифмическая функция с основанием $3 > 1$, поэтому она является возрастающей. Область определения функции: $x > 0$. График проходит через точку $(1; 0)$. Составим таблицу значений для нескольких ключевых точек:

• При $x = 1$, $y_1 = \log_3 1 = 0$. Точка $(1; 0)$.
• При $x = 3$, $y_1 = \log_3 3 = 1$. Точка $(3; 1)$.
• При $x = 9$, $y_1 = \log_3 9 = 2$. Точка $(9; 2)$.

2. Построим график функции $y_2 = 5 - x$. Это линейная функция, ее график — прямая. Коэффициент при $x$ отрицательный, поэтому функция является убывающей. Для построения прямой достаточно двух точек.

• При $x = 0$, $y_2 = 5 - 0 = 5$. Точка $(0; 5)$.
• При $x = 5$, $y_2 = 5 - 5 = 0$. Точка $(5; 0)$.

3. Начертим оба графика в одной системе координат. График $y_1 = \log_3 x$ — монотонно возрастающая кривая, а график $y_2 = 5 - x$ — монотонно убывающая прямая. Так как одна функция возрастает, а другая убывает на всей области определения, они могут пересечься не более одного раза. Следовательно, уравнение имеет единственный корень.

Из графика видно, что точка пересечения находится между значениями $x=3$ и $x=4$. Проверим это аналитически:

• При $x=3$: $y_1 = \log_3 3 = 1$, а $y_2 = 5 - 3 = 2$. Так как $1 < 2$, то есть $y_1 < y_2$, график логарифма находится ниже прямой.
• При $x=4$: $y_1 = \log_3 4$. Так как $4 > 3$, то $\log_3 4 > \log_3 3 = 1$. В то же время $y_2 = 5 - 4 = 1$. Так как $\log_3 4 > 1$, то есть $y_1 > y_2$, график логарифма находится выше прямой.

Это подтверждает, что корень уравнения лежит в интервале $(3; 4)$. Графический метод в данном случае позволяет найти лишь приблизительное значение корня, так как точного целочисленного или простого дробного решения уравнение не имеет. Построив точный график, можно определить, что корень близок к $3.8$.

Ответ: Уравнение имеет один корень, $x \in (3; 4)$. Приблизительное решение $x \approx 3.8$.

2)

Чтобы решить уравнение $\log_{\frac{1}{3}} x = 3x$ графически, построим в одной системе координат графики двух функций: $y_1 = \log_{\frac{1}{3}} x$ и $y_2 = 3x$. Решением уравнения будет абсцисса точки пересечения этих графиков.

1. Построим график функции $y_1 = \log_{\frac{1}{3}} x$. Это логарифмическая функция с основанием $\frac{1}{3}$, которое удовлетворяет условию $0 < \frac{1}{3} < 1$, поэтому функция является убывающей. Область определения: $x > 0$. График проходит через точку $(1; 0)$. Составим таблицу значений:

• При $x = \frac{1}{3}$, $y_1 = \log_{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3}) = 1$. Точка $(\frac{1}{3}; 1)$.
• При $x = 1$, $y_1 = \log_{\frac{1}{3}} 1 = 0$. Точка $(1; 0)$.
• При $x = 3$, $y_1 = \log_{\frac{1}{3}} 3 = -1$. Точка $(3; -1)$.

2. Построим график функции $y_2 = 3x$. Это линейная функция, ее график — прямая, проходящая через начало координат. Коэффициент при $x$ положительный, поэтому функция является возрастающей.

• При $x = 0$, $y_2 = 3 \cdot 0 = 0$. Точка $(0; 0)$.
• При $x = 1$, $y_2 = 3 \cdot 1 = 3$. Точка $(1; 3)$.

3. Начертим оба графика в одной системе координат. Функция $y_1 = \log_{\frac{1}{3}} x$ монотонно убывает, а функция $y_2 = 3x$ монотонно возрастает. Следовательно, их графики могут пересечься только в одной точке.

Попробуем найти точку пересечения подбором, используя простые значения. Проверим значение $x = \frac{1}{3}$, которое является ключевым для логарифмической функции:

• $y_1(\frac{1}{3}) = \log_{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3}) = 1$.
• $y_2(\frac{1}{3}) = 3 \cdot \frac{1}{3} = 1$.

Поскольку значения функций совпали, точка $(\frac{1}{3}; 1)$ является точкой их пересечения. Абсцисса этой точки и есть решение уравнения.

Ответ: $x = \frac{1}{3}$.