Номер 880, страница 264 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

880. 1) $\log_{11} 1$;

2) $\log_7 7$;

3) $\log_{16} 64$;

4) $\log_{27} 9$.

1) Чтобы найти значение $log_{11}1$, нужно найти степень, в которую нужно возвести основание 11, чтобы получить 1. Пусть $log_{11}1 = x$. По определению логарифма это эквивалентно уравнению $11^x = 1$. Любое число (кроме нуля) в степени 0 равно 1, поэтому $x=0$.
Ответ: 0

2) Чтобы найти значение $log_{7}7$, нужно найти степень, в которую нужно возвести основание 7, чтобы получить 7. Пусть $log_{7}7 = x$. По определению логарифма это эквивалентно уравнению $7^x = 7$. Очевидно, что $x=1$, так как $7^1 = 7$. Это также следует из свойства логарифма $log_{a}a = 1$.
Ответ: 1

3) Чтобы найти значение $log_{16}64$, нужно найти степень $x$, в которую нужно возвести 16, чтобы получить 64. Запишем уравнение: $16^x = 64$. Для его решения представим числа 16 и 64 как степени одного и того же основания, например, 4. $16 = 4^2$ и $64 = 4^3$. Подставим эти значения в уравнение: $(4^2)^x = 4^3$. Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем: $4^{2x} = 4^3$. Так как основания равны, мы можем приравнять показатели степеней: $2x = 3$. Отсюда $x = \frac{3}{2}$.
Можно также использовать свойство логарифма $log_{a^k}b^m = \frac{m}{k}log_a b$: $log_{16}64 = log_{2^4}2^6 = \frac{6}{4}log_2 2 = \frac{3}{2} \cdot 1 = \frac{3}{2}$.
Ответ: $\frac{3}{2}$

4) Чтобы найти значение $log_{27}9$, нужно найти степень $x$, в которую нужно возвести 27, чтобы получить 9. Запишем уравнение: $27^x = 9$. Представим 27 и 9 как степени одного основания, в данном случае 3. $27 = 3^3$ и $9 = 3^2$. Подставим в уравнение: $(3^3)^x = 3^2$. Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем: $3^{3x} = 3^2$. Приравняем показатели степеней: $3x = 2$. Отсюда $x = \frac{2}{3}$.
Можно также использовать свойство логарифма $log_{a^k}b^m = \frac{m}{k}log_a b$: $log_{27}9 = log_{3^3}3^2 = \frac{2}{3}log_3 3 = \frac{2}{3} \cdot 1 = \frac{2}{3}$.
Ответ: $\frac{2}{3}$