Номер 873, страница 264 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

873. 1) $ \log_{0.2} x - \log_5 (x - 2) < \log_{0.2} 3; $

2) $ \lg x - \log_{0.1} (x - 1) > \log_{0.1} 0.5. $

1) Решим неравенство $\log_{0.2} x - \log_{5} (x-2) < \log_{0.2} 3$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$\begin{cases} x > 0 \\ x-2 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 0 \\ x > 2 \end{cases} \implies x > 2$.

Таким образом, ОДЗ: $x \in (2, +\infty)$.

Далее, приведем все логарифмы к одному основанию. Заметим, что $0.2 = \frac{1}{5} = 5^{-1}$. Используем свойство логарифма $\log_{a^k} b = \frac{1}{k}\log_a b$. Преобразуем $\log_5 (x-2)$ к основанию $0.2$.

$\log_5 (x-2) = \log_{{0.2}^{-1}} (x-2) = \frac{1}{-1}\log_{0.2} (x-2) = -\log_{0.2} (x-2)$.

Теперь подставим полученное выражение в исходное неравенство:

$\log_{0.2} x - (-\log_{0.2} (x-2)) < \log_{0.2} 3$

$\log_{0.2} x + \log_{0.2} (x-2) < \log_{0.2} 3$

Используя свойство суммы логарифмов $\log_a M + \log_a N = \log_a (M \cdot N)$, получим:

$\log_{0.2} (x(x-2)) < \log_{0.2} 3$

Так как основание логарифма $0.2$ находится в интервале $(0, 1)$, логарифмическая функция является убывающей. Это означает, что при переходе от логарифмов к их аргументам, знак неравенства необходимо изменить на противоположный.

$x(x-2) > 3$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное неравенство:

$x^2 - 2x > 3$

$x^2 - 2x - 3 > 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 2x - 3 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 2, а произведение равно -3. Следовательно, корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$.

Парабола $y = x^2 - 2x - 3$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому она принимает положительные значения при $x$ левее меньшего корня и правее большего корня.

Решение неравенства: $x \in (-\infty, -1) \cup (3, +\infty)$.

Наконец, учтем ОДЗ, найдя пересечение полученного решения с интервалом $x > 2$.

$(-\infty, -1) \cup (3, +\infty) \cap (2, +\infty) = (3, +\infty)$.

Ответ: $x \in (3, +\infty)$.

2) Решим неравенство $\lg x - \log_{0.1} (x-1) > \log_{0.1} 0.5$.

Найдем ОДЗ. Напомним, что $\lg x$ это $\log_{10} x$.

$\begin{cases} x > 0 \\ x-1 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 0 \\ x > 1 \end{cases} \implies x > 1$.

ОДЗ: $x \in (1, +\infty)$.

Приведем логарифмы к одному основанию $10$. Заметим, что $0.1 = 10^{-1}$. Используем свойство $\log_{a^k} b = \frac{1}{k}\log_a b$.

$\log_{0.1} (x-1) = \log_{10^{-1}} (x-1) = -\log_{10} (x-1) = -\lg(x-1)$.

$\log_{0.1} 0.5 = \log_{10^{-1}} 0.5 = -\log_{10} 0.5 = -\lg 0.5$.

Подставим эти выражения в исходное неравенство:

$\lg x - (-\lg(x-1)) > -\lg 0.5$

$\lg x + \lg(x-1) > -\lg 0.5$

Применим свойство суммы логарифмов слева и свойство степени логарифма $k \log_a b = \log_a b^k$ справа:

$\lg(x(x-1)) > \lg(0.5^{-1})$

$\lg(x(x-1)) > \lg(\frac{1}{0.5})$

$\lg(x(x-1)) > \lg 2$

Основание десятичного логарифма равно $10$, что больше $1$. Логарифмическая функция с таким основанием является возрастающей, поэтому при переходе к аргументам знак неравенства сохраняется.

$x(x-1) > 2$

Решим полученное квадратное неравенство:

$x^2 - x > 2$

$x^2 - x - 2 > 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - x - 2 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а произведение равно -2. Корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.

Парабола $y = x^2 - x - 2$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -1) \cup (2, +\infty)$.

Пересечем это решение с ОДЗ ($x > 1$):

$(-\infty, -1) \cup (2, +\infty) \cap (1, +\infty) = (2, +\infty)$.

Ответ: $x \in (2, +\infty)$.