Номер 867, страница 263 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

867. 1) $\log_{15} (x - 3) + \log_{15} (x - 5) < 1;$

2) $\log_{\frac{1}{3}} (x - 2) + \log_{\frac{1}{3}} (12 - x) \ge -2.$

Решим неравенство $ \log_{15} (x - 3) + \log_{15} (x - 5) < 1 $.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго больше нуля:

$ \begin{cases} x - 3 > 0 \\ x - 5 > 0 \end{cases} $

Из первого неравенства получаем $ x > 3 $, из второго $ x > 5 $. Пересечением этих условий является $ x > 5 $. Таким образом, ОДЗ: $ x \in (5; +\infty) $.

Теперь преобразуем исходное неравенство, используя свойство суммы логарифмов $ \log_a b + \log_a c = \log_a (bc) $:

$ \log_{15} ((x - 3)(x - 5)) < 1 $

Представим правую часть неравенства в виде логарифма с основанием 15: $ 1 = \log_{15} 15 $.

$ \log_{15} ((x - 3)(x - 5)) < \log_{15} 15 $

Так как основание логарифма 15 > 1, логарифмическая функция является возрастающей. Поэтому при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства сохраняется:

$ (x - 3)(x - 5) < 15 $

Раскроем скобки и решим полученное квадратное неравенство:

$ x^2 - 5x - 3x + 15 < 15 $

$ x^2 - 8x < 0 $

$ x(x - 8) < 0 $

Корнями уравнения $ x(x - 8) = 0 $ являются $ x_1 = 0 $ и $ x_2 = 8 $. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство $ x(x - 8) < 0 $ выполняется между корнями, то есть при $ 0 < x < 8 $.

Теперь найдем пересечение полученного решения $ x \in (0; 8) $ с ОДЗ $ x \in (5; +\infty) $.

$ \begin{cases} 0 < x < 8 \\ x > 5 \end{cases} $

Общим решением является интервал $ 5 < x < 8 $.

Ответ: $ (5; 8) $.

Решим неравенство $ \log_{\frac{1}{3}} (x - 2) + \log_{\frac{1}{3}} (12 - x) \ge -2 $.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$ \begin{cases} x - 2 > 0 \\ 12 - x > 0 \end{cases} $

Из первого неравенства получаем $ x > 2 $, из второго $ x < 12 $. Пересечением этих условий является $ 2 < x < 12 $. Таким образом, ОДЗ: $ x \in (2; 12) $.

Преобразуем левую часть неравенства, используя свойство суммы логарифмов:

$ \log_{\frac{1}{3}} ((x - 2)(12 - x)) \ge -2 $

Представим правую часть в виде логарифма с основанием $ \frac{1}{3} $: $ -2 = \log_{\frac{1}{3}} ((\frac{1}{3})^{-2}) = \log_{\frac{1}{3}} (3^2) = \log_{\frac{1}{3}} 9 $.

$ \log_{\frac{1}{3}} ((x - 2)(12 - x)) \ge \log_{\frac{1}{3}} 9 $

Так как основание логарифма $ \frac{1}{3} < 1 $, логарифмическая функция является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства меняется на противоположный:

$ (x - 2)(12 - x) \le 9 $

Раскроем скобки и решим полученное квадратное неравенство:

$ 12x - x^2 - 24 + 2x \le 9 $

$ -x^2 + 14x - 24 - 9 \le 0 $

$ -x^2 + 14x - 33 \le 0 $

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства:

$ x^2 - 14x + 33 \ge 0 $

Найдем корни квадратного уравнения $ x^2 - 14x + 33 = 0 $. Дискриминант $ D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 33 = 196 - 132 = 64 = 8^2 $.

$ x_1 = \frac{14 - 8}{2} = 3 $

$ x_2 = \frac{14 + 8}{2} = 11 $

Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство $ x^2 - 14x + 33 \ge 0 $ выполняется при $ x \le 3 $ или $ x \ge 11 $. Решение: $ x \in (-\infty; 3] \cup [11; +\infty) $.

Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ $ x \in (2; 12) $.

$ \begin{cases} x \in (-\infty; 3] \cup [11; +\infty) \\ x \in (2; 12) \end{cases} $

Пересечение дает нам два промежутка: $ (2; 3] $ и $ [11; 12) $. Объединяем их.

Ответ: $ (2; 3] \cup [11; 12) $.