Страница 263 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

864. Найти область определения функции:

1) $y = \lg (3x - 2)$;

2) $y = \log_2 (7 - 5x)$;

3) $y = \log_{\frac{1}{2}} (x^2 - 2)$;

4) $y = \log_7 (4 - x^2)$.

Область определения логарифмической функции $y = \log_a(f(x))$ задается условием, что аргумент логарифма должен быть строго больше нуля, то есть $f(x) > 0$.

1) $y = \lg(3x - 2)$

Здесь $\lg$ обозначает десятичный логарифм (логарифм по основанию 10). Область определения функции находится из неравенства:
$3x - 2 > 0$
Переносим 2 в правую часть:
$3x > 2$
Делим обе части на 3:
$x > \frac{2}{3}$
Таким образом, область определения — это все значения $x$, которые больше $\frac{2}{3}$. В виде интервала это записывается как $(\frac{2}{3}; +\infty)$.
Ответ: $x \in (\frac{2}{3}; +\infty)$.

2) $y = \log_2(7 - 5x)$

Область определения функции находится из неравенства:
$7 - 5x > 0$
Переносим $5x$ в правую часть:
$7 > 5x$
Делим обе части на 5:
$\frac{7}{5} > x$, что эквивалентно $x < \frac{7}{5}$
Таким образом, область определения — это все значения $x$, которые меньше $\frac{7}{5}$. В виде интервала это записывается как $(-\infty; \frac{7}{5})$.
Ответ: $x \in (-\infty; \frac{7}{5})$.

3) $y = \log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 2)$

Область определения функции находится из неравенства:
$x^2 - 2 > 0$
Для решения этого квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 2 = 0$:
$x^2 = 2$
$x_1 = -\sqrt{2}$, $x_2 = \sqrt{2}$
Парабола $y = x^2 - 2$ ветвями направлена вверх, поэтому значения функции положительны вне интервала между корнями.
Следовательно, решением неравенства являются $x < -\sqrt{2}$ или $x > \sqrt{2}$. В виде объединения интервалов это записывается как $(-\infty; -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}; +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty; -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}; +\infty)$.

4) $y = \log_7(4 - x^2)$

Область определения функции находится из неравенства:
$4 - x^2 > 0$
Для решения этого квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $4 - x^2 = 0$:
$x^2 = 4$
$x_1 = -2$, $x_2 = 2$
Парабола $y = 4 - x^2$ ветвями направлена вниз, поэтому значения функции положительны внутри интервала между корнями.
Следовательно, решением неравенства является интервал $-2 < x < 2$. В виде интервала это записывается как $(-2; 2)$.
Ответ: $x \in (-2; 2)$.

Решить неравенство (865–867).

865.

1) $\log_3 (x + 2) < 3;$

2) $\log_8 (4 - 2x) \geq 2;$

3) $\log_3 (x + 1) < -2;$

4) $\log_{1/3} (x - 1) \geq -2;$

5) $\log_{1/5} (4 - 3x) \geq -1;$

6) $\log_{2/3} (2 - 5x) < -2.$

1) $log_3 (x + 2) < 3$

Решение логарифмического неравенства состоит из двух частей: нахождения области допустимых значений (ОДЗ) и решения самого неравенства.

1. Найдём ОДЗ. Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:

$x + 2 > 0$

$x > -2$

2. Решим неравенство. Основание логарифма $3 > 1$, следовательно, логарифмическая функция $y = log_3(t)$ является возрастающей. Это значит, что при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства сохраняется. Представим правую часть неравенства в виде логарифма по основанию 3:

$3 = log_3(3^3) = log_3(27)$

Подставим это в исходное неравенство:

$log_3(x + 2) < log_3(27)$

Теперь можем убрать логарифмы, сохранив знак неравенства:

$x + 2 < 27$

$x < 25$

3. Объединим результат с ОДЗ. Решение должно удовлетворять обоим условиям: $x > -2$ и $x < 25$. Это можно записать в виде системы:

$\begin{cases} x > -2 \\ x < 25 \end{cases}$

Пересечением этих двух условий является интервал $(-2; 25)$.

Ответ: $(-2; 25)$

2) $log_8 (4 - 2x) \ge 2$

1. ОДЗ: $4 - 2x > 0 \implies 4 > 2x \implies 2 > x$, то есть $x < 2$.

2. Решение неравенства. Основание логарифма $8 > 1$, функция возрастающая, поэтому знак неравенства сохраняется. Представим $2$ в виде логарифма по основанию 8:

$2 = log_8(8^2) = log_8(64)$

Неравенство принимает вид:

$log_8(4 - 2x) \ge log_8(64)$

Переходим к аргументам:

$4 - 2x \ge 64$

$-2x \ge 60$

При делении на отрицательное число ($-2$) знак неравенства меняется на противоположный:

$x \le -30$

3. Объединение с ОДЗ. Получаем систему:

$\begin{cases} x < 2 \\ x \le -30 \end{cases}$

Пересечением этих условий является $x \le -30$.

Ответ: $(-\infty; -30]$

3) $log_3 (x + 1) < -2$

1. ОДЗ: $x + 1 > 0 \implies x > -1$.

2. Решение неравенства. Основание $3 > 1$, функция возрастающая, знак неравенства сохраняется. Представим $-2$ в виде логарифма по основанию 3:

$-2 = log_3(3^{-2}) = log_3(\frac{1}{9})$

Неравенство принимает вид:

$log_3(x + 1) < log_3(\frac{1}{9})$

$x + 1 < \frac{1}{9}$

$x < \frac{1}{9} - 1$

$x < -\frac{8}{9}$

3. Объединение с ОДЗ.

$\begin{cases} x > -1 \\ x < -\frac{8}{9} \end{cases}$

Так как $-1 < -\frac{8}{9}$, решением является интервал $(-1; -\frac{8}{9})$.

Ответ: $(-1; -\frac{8}{9})$

4) $log_{\frac{1}{3}} (x - 1) \ge -2$

1. ОДЗ: $x - 1 > 0 \implies x > 1$.

2. Решение неравенства. Основание логарифма $a = \frac{1}{3}$, и $0 < a < 1$. Следовательно, логарифмическая функция является убывающей. Это значит, что при переходе к аргументам знак неравенства необходимо изменить на противоположный. Представим $-2$ в виде логарифма по основанию $\frac{1}{3}$:

$-2 = log_{\frac{1}{3}}((\frac{1}{3})^{-2}) = log_{\frac{1}{3}}(3^2) = log_{\frac{1}{3}}(9)$

Неравенство принимает вид:

$log_{\frac{1}{3}}(x - 1) \ge log_{\frac{1}{3}}(9)$

Переходим к аргументам, меняя знак неравенства:

$x - 1 \le 9$

$x \le 10$

3. Объединение с ОДЗ.

$\begin{cases} x > 1 \\ x \le 10 \end{cases}$

Решением является полуинтервал $(1; 10]$.

Ответ: $(1; 10]$

5) $log_{\frac{1}{5}} (4 - 3x) \ge -1$

1. ОДЗ: $4 - 3x > 0 \implies 4 > 3x \implies x < \frac{4}{3}$.

2. Решение неравенства. Основание $a = \frac{1}{5}$, и $0 < a < 1$, функция убывающая, знак неравенства меняется. Представим $-1$ в виде логарифма по основанию $\frac{1}{5}$:

$-1 = log_{\frac{1}{5}}((\frac{1}{5})^{-1}) = log_{\frac{1}{5}}(5)$

Неравенство принимает вид:

$log_{\frac{1}{5}}(4 - 3x) \ge log_{\frac{1}{5}}(5)$

Переходим к аргументам, меняя знак:

$4 - 3x \le 5$

$-3x \le 1$

Делим на $-3$ и снова меняем знак неравенства:

$x \ge -\frac{1}{3}$

3. Объединение с ОДЗ.

$\begin{cases} x < \frac{4}{3} \\ x \ge -\frac{1}{3} \end{cases}$

Решением является полуинтервал $[-\frac{1}{3}; \frac{4}{3})$.

Ответ: $[-\frac{1}{3}; \frac{4}{3})$

6) $log_{\frac{2}{3}} (2 - 5x) < -2$

1. ОДЗ: $2 - 5x > 0 \implies 2 > 5x \implies x < \frac{2}{5}$.

2. Решение неравенства. Основание $a = \frac{2}{3}$, и $0 < a < 1$, функция убывающая, знак неравенства меняется. Представим $-2$ в виде логарифма по основанию $\frac{2}{3}$:

$-2 = log_{\frac{2}{3}}((\frac{2}{3})^{-2}) = log_{\frac{2}{3}}((\frac{3}{2})^2) = log_{\frac{2}{3}}(\frac{9}{4})$

Неравенство принимает вид:

$log_{\frac{2}{3}}(2 - 5x) < log_{\frac{2}{3}}(\frac{9}{4})$

Переходим к аргументам, меняя знак:

$2 - 5x > \frac{9}{4}$

$-5x > \frac{9}{4} - 2$

$-5x > \frac{9}{4} - \frac{8}{4}$

$-5x > \frac{1}{4}$

Делим на $-5$ и снова меняем знак неравенства:

$x < -\frac{1}{20}$

3. Объединение с ОДЗ.

$\begin{cases} x < \frac{2}{5} \\ x < -\frac{1}{20} \end{cases}$

Сравним $\frac{2}{5}$ и $-\frac{1}{20}$. $\frac{2}{5} = \frac{8}{20}$. Так как $-\frac{1}{20} < \frac{8}{20}$, то более сильным условием является $x < -\frac{1}{20}$.

Ответ: $(-\infty; -\frac{1}{20})$

866. 1) $ \log x > \log 8 + 1; $

2) $ \log x > 2 - \log 4; $

3) $ \log_2 (x - 4) < 1; $

4) $ \log_{\frac{1}{5}} (3x - 5) > \log_{\frac{1}{5}} (x + 1). $

1) Исходное неравенство: $\log x > \lg 8 + 1$. В данном случае $\log x$ и $\lg x$ обозначают десятичный логарифм (логарифм по основанию 10).

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$x > 0$.

Теперь преобразуем правую часть неравенства. Представим число 1 в виде десятичного логарифма: $1 = \lg 10$.

Неравенство принимает вид:

$\lg x > \lg 8 + \lg 10$

Используем свойство суммы логарифмов $\lg a + \lg b = \lg(ab)$:

$\lg x > \lg(8 \cdot 10)$

$\lg x > \lg 80$

Так как основание логарифма 10 больше 1, функция $y = \lg x$ является возрастающей. Поэтому при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства сохраняется:

$x > 80$

Сравниваем полученное решение с ОДЗ ($x > 0$). Пересечением условий $x > 80$ и $x > 0$ является $x > 80$.

Ответ: $x \in (80; +\infty)$.

2) Исходное неравенство: $\lg x > 2 - \lg 4$.

ОДЗ: $x > 0$.

Перенесем $\lg 4$ в левую часть неравенства, изменив знак:

$\lg x + \lg 4 > 2$

Применим свойство суммы логарифмов:

$\lg(4x) > 2$

Представим число 2 в виде десятичного логарифма: $2 = \lg(10^2) = \lg 100$.

Неравенство принимает вид:

$\lg(4x) > \lg 100$

Основание логарифма 10 > 1, поэтому знак неравенства при переходе к аргументам сохраняется:

$4x > 100$

$x > \frac{100}{4}$

$x > 25$

Полученное решение $x > 25$ удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $x \in (25; +\infty)$.

3) Исходное неравенство: $\log_2(x-4) < 1$.

ОДЗ: аргумент логарифма должен быть положителен:

$x - 4 > 0 \implies x > 4$.

Представим 1 в виде логарифма по основанию 2: $1 = \log_2 2$.

Неравенство принимает вид:

$\log_2(x-4) < \log_2 2$

Основание логарифма 2 > 1, поэтому функция $y = \log_2 x$ возрастающая, и знак неравенства сохраняется:

$x - 4 < 2$

$x < 2 + 4$

$x < 6$

Теперь найдем пересечение полученного решения с ОДЗ. Составим систему неравенств:

$\begin{cases} x > 4 \\ x < 6 \end{cases}$

Решением системы является интервал $4 < x < 6$.

Ответ: $x \in (4; 6)$.

4) Исходное неравенство: $\log_{\frac{1}{5}}(3x - 5) > \log_{\frac{1}{5}}(x + 1)$.

Найдем ОДЗ. Аргументы обоих логарифмов должны быть строго положительны. Составим систему неравенств:

$\begin{cases} 3x - 5 > 0 \\ x + 1 > 0 \end{cases}$

Решаем эту систему:

$\begin{cases} 3x > 5 \\ x > -1 \end{cases} \implies \begin{cases} x > \frac{5}{3} \\ x > -1 \end{cases}$

Пересечением этих двух условий является $x > \frac{5}{3}$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (\frac{5}{3}; +\infty)$.

Теперь решаем само неравенство. Основание логарифма $\frac{1}{5}$ меньше 1 (но больше 0). Функция $y = \log_{\frac{1}{5}}x$ является убывающей. Поэтому при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства меняется на противоположный:

$3x - 5 < x + 1$

$3x - x < 1 + 5$

$2x < 6$

$x < 3$

Найдем пересечение полученного решения $x < 3$ с ОДЗ $x > \frac{5}{3}$:

$\begin{cases} x > \frac{5}{3} \\ x < 3 \end{cases}$

Решением системы является интервал $\frac{5}{3} < x < 3$.

Ответ: $x \in (\frac{5}{3}; 3)$.

867. 1) $\log_{15} (x - 3) + \log_{15} (x - 5) < 1;$

2) $\log_{\frac{1}{3}} (x - 2) + \log_{\frac{1}{3}} (12 - x) \ge -2.$

Решим неравенство $ \log_{15} (x - 3) + \log_{15} (x - 5) < 1 $.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго больше нуля:

$ \begin{cases} x - 3 > 0 \\ x - 5 > 0 \end{cases} $

Из первого неравенства получаем $ x > 3 $, из второго $ x > 5 $. Пересечением этих условий является $ x > 5 $. Таким образом, ОДЗ: $ x \in (5; +\infty) $.

Теперь преобразуем исходное неравенство, используя свойство суммы логарифмов $ \log_a b + \log_a c = \log_a (bc) $:

$ \log_{15} ((x - 3)(x - 5)) < 1 $

Представим правую часть неравенства в виде логарифма с основанием 15: $ 1 = \log_{15} 15 $.

$ \log_{15} ((x - 3)(x - 5)) < \log_{15} 15 $

Так как основание логарифма 15 > 1, логарифмическая функция является возрастающей. Поэтому при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства сохраняется:

$ (x - 3)(x - 5) < 15 $

Раскроем скобки и решим полученное квадратное неравенство:

$ x^2 - 5x - 3x + 15 < 15 $

$ x^2 - 8x < 0 $

$ x(x - 8) < 0 $

Корнями уравнения $ x(x - 8) = 0 $ являются $ x_1 = 0 $ и $ x_2 = 8 $. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство $ x(x - 8) < 0 $ выполняется между корнями, то есть при $ 0 < x < 8 $.

Теперь найдем пересечение полученного решения $ x \in (0; 8) $ с ОДЗ $ x \in (5; +\infty) $.

$ \begin{cases} 0 < x < 8 \\ x > 5 \end{cases} $

Общим решением является интервал $ 5 < x < 8 $.

Ответ: $ (5; 8) $.

Решим неравенство $ \log_{\frac{1}{3}} (x - 2) + \log_{\frac{1}{3}} (12 - x) \ge -2 $.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$ \begin{cases} x - 2 > 0 \\ 12 - x > 0 \end{cases} $

Из первого неравенства получаем $ x > 2 $, из второго $ x < 12 $. Пересечением этих условий является $ 2 < x < 12 $. Таким образом, ОДЗ: $ x \in (2; 12) $.

Преобразуем левую часть неравенства, используя свойство суммы логарифмов:

$ \log_{\frac{1}{3}} ((x - 2)(12 - x)) \ge -2 $

Представим правую часть в виде логарифма с основанием $ \frac{1}{3} $: $ -2 = \log_{\frac{1}{3}} ((\frac{1}{3})^{-2}) = \log_{\frac{1}{3}} (3^2) = \log_{\frac{1}{3}} 9 $.

$ \log_{\frac{1}{3}} ((x - 2)(12 - x)) \ge \log_{\frac{1}{3}} 9 $

Так как основание логарифма $ \frac{1}{3} < 1 $, логарифмическая функция является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства меняется на противоположный:

$ (x - 2)(12 - x) \le 9 $

Раскроем скобки и решим полученное квадратное неравенство:

$ 12x - x^2 - 24 + 2x \le 9 $

$ -x^2 + 14x - 24 - 9 \le 0 $

$ -x^2 + 14x - 33 \le 0 $

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства:

$ x^2 - 14x + 33 \ge 0 $

Найдем корни квадратного уравнения $ x^2 - 14x + 33 = 0 $. Дискриминант $ D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 33 = 196 - 132 = 64 = 8^2 $.

$ x_1 = \frac{14 - 8}{2} = 3 $

$ x_2 = \frac{14 + 8}{2} = 11 $

Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство $ x^2 - 14x + 33 \ge 0 $ выполняется при $ x \le 3 $ или $ x \ge 11 $. Решение: $ x \in (-\infty; 3] \cup [11; +\infty) $.

Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ $ x \in (2; 12) $.

$ \begin{cases} x \in (-\infty; 3] \cup [11; +\infty) \\ x \in (2; 12) \end{cases} $

Пересечение дает нам два промежутка: $ (2; 3] $ и $ [11; 12) $. Объединяем их.

Ответ: $ (2; 3] \cup [11; 12) $.

868. Найти область определения функции:

1) $y = \log_5 (x^2 - 4x + 3);$

2) $y = \log_6 \frac{3x+2}{1-x};$

3) $y = \sqrt{\lg x + \lg (x + 2)};$

4) $y = \sqrt{\lg (x - 1) + \lg (x + 1)}.$

1) $y = \log_5 (x^2 - 4x + 3)$

Область определения логарифмической функции — это множество значений переменной, при которых выражение под знаком логарифма строго положительно. Следовательно, нам нужно решить неравенство:

$x^2 - 4x + 3 > 0$

Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 4x + 3 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней равна 4, а их произведение равно 3. Легко подобрать корни: $x_1 = 1$, $x_2 = 3$.

Парабола $y = x^2 - 4x + 3$ имеет ветви, направленные вверх (коэффициент при $x^2$ положителен). Значит, квадратный трехчлен принимает положительные значения вне интервала между корнями.

Таким образом, решение неравенства: $x < 1$ или $x > 3$.

В виде интервалов это записывается как $(-\infty; 1) \cup (3; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 1) \cup (3; +\infty)$.

2) $y = \log_6 \frac{3x+2}{1-x}$

Аналогично первому пункту, выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным:

$\frac{3x+2}{1-x} > 0$

Решим это рациональное неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:

Нуль числителя: $3x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2/3$.

Нуль знаменателя: $1 - x = 0 \Rightarrow x = 1$.

Нанесем эти точки на числовую прямую, они разделят ее на три интервала: $(-\infty; -2/3)$, $(-2/3; 1)$ и $(1; +\infty)$. Определим знак выражения в каждом интервале:

• При $x < -2/3$ (например, $x=-1$): $\frac{3(-1)+2}{1-(-1)} = \frac{-1}{2} < 0$.
• При $-2/3 < x < 1$ (например, $x=0$): $\frac{3(0)+2}{1-0} = \frac{2}{1} > 0$.
• При $x > 1$ (например, $x=2$): $\frac{3(2)+2}{1-2} = \frac{8}{-1} < 0$.

Неравенство выполняется на интервале $(-2/3; 1)$.

Ответ: $x \in (-2/3; 1)$.

3) $y = \sqrt{\lg x + \lg(x+2)}$

Область определения этой функции задается системой из трех условий:

1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $\lg x + \lg(x+2) \ge 0$.
2. Выражение под знаком первого логарифма должно быть положительным: $x > 0$.
3. Выражение под знаком второго логарифма должно быть положительным: $x+2 > 0 \Rightarrow x > -2$.

Объединяя условия 2 и 3, получаем, что $x > 0$. Теперь решим первое неравенство с учетом этого условия.

Используем свойство логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$:

$\lg(x(x+2)) \ge 0$

Так как основание десятичного логарифма 10 > 1, то неравенство для аргументов будет иметь тот же знак:

$x(x+2) \ge 10^0$

$x^2 + 2x \ge 1$

$x^2 + 2x - 1 \ge 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + 2x - 1 = 0$ через дискриминант:

$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 4 + 4 = 8$

$x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = -1 \pm \sqrt{2}$

Парабола $y = x^2 + 2x - 1$ ветвями вверх, значит, неравенство $x^2 + 2x - 1 \ge 0$ выполняется при $x \le -1-\sqrt{2}$ или $x \ge -1+\sqrt{2}$.

Теперь найдем пересечение этого решения с условием $x > 0$.

Так как $-1-\sqrt{2} < 0$, а $-1+\sqrt{2} \approx -1+1.414 = 0.414 > 0$, то общим решением будет $x \ge -1+\sqrt{2}$.

Ответ: $x \in [-1+\sqrt{2}; +\infty)$.

4) $y = \sqrt{\lg(x-1) + \lg(x+1)}$

Область определения этой функции задается системой условий:

1. $\lg(x-1) + \lg(x+1) \ge 0$ (подкоренное выражение неотрицательно)
2. $x-1 > 0 \Rightarrow x > 1$ (аргумент первого логарифма положителен)
3. $x+1 > 0 \Rightarrow x > -1$ (аргумент второго логарифма положителен)

Объединяя условия 2 и 3, получаем более сильное ограничение $x > 1$. Решаем первое неравенство с учетом этого условия.

Применим свойство логарифмов:

$\lg((x-1)(x+1)) \ge 0$

$\lg(x^2 - 1) \ge 0$

Поскольку основание логарифма 10 > 1:

$x^2 - 1 \ge 10^0$

$x^2 - 1 \ge 1$

$x^2 - 2 \ge 0$

Корни уравнения $x^2 - 2 = 0$ равны $x_1 = -\sqrt{2}$ и $x_2 = \sqrt{2}$.

Парабола $y=x^2-2$ ветвями вверх, поэтому неравенство $x^2-2 \ge 0$ выполняется при $x \le -\sqrt{2}$ или $x \ge \sqrt{2}$.

Найдем пересечение этого решения с условием $x > 1$.

Так как $\sqrt{2} \approx 1.414 > 1$, то пересечением будет промежуток $x \ge \sqrt{2}$.

Ответ: $x \in [\sqrt{2}; +\infty)$.

Решить неравенство (869—877).

869.

1) $\log_{5} \frac{3x-2}{x^2+1} > 0;$

2) $\log_{\frac{1}{2}} \frac{2x^2+3}{x-7} < 0;$

3) $\lg (3x-4) < \lg (2x+1);$

4) $\log_{\frac{1}{2}} (2x+3) > \log_{\frac{1}{2}} (x+1).$

1) Решим неравенство $ \log_{5} \frac{3x - 2}{x^2 + 1} > 0 $.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:

$ \frac{3x - 2}{x^2 + 1} > 0 $

Знаменатель $ x^2 + 1 $ всегда положителен при любых действительных значениях $x$, так как $x^2 \ge 0$. Следовательно, знак дроби определяется знаком числителя:

$ 3x - 2 > 0 $

$ 3x > 2 $

$ x > \frac{2}{3} $

Таким образом, ОДЗ: $ x \in (\frac{2}{3}, +\infty) $.

Теперь решим само неравенство. Представим 0 в виде логарифма по основанию 5:

$ \log_{5} \frac{3x - 2}{x^2 + 1} > \log_{5} 1 $

Так как основание логарифма $ 5 > 1 $, логарифмическая функция является возрастающей. Поэтому при переходе к аргументам знак неравенства сохраняется:

$ \frac{3x - 2}{x^2 + 1} > 1 $

Перенесем 1 в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$ \frac{3x - 2}{x^2 + 1} - 1 > 0 $

$ \frac{3x - 2 - (x^2 + 1)}{x^2 + 1} > 0 $

$ \frac{-x^2 + 3x - 3}{x^2 + 1} > 0 $

Так как знаменатель $ x^2 + 1 > 0 $, неравенство равносильно следующему:

$ -x^2 + 3x - 3 > 0 $

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$ x^2 - 3x + 3 < 0 $

Рассмотрим квадратичную функцию $ y = x^2 - 3x + 3 $. Найдем ее дискриминант:

$ D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4(1)(3) = 9 - 12 = -3 $

Поскольку дискриминант $ D < 0 $ и старший коэффициент $ a = 1 > 0 $, парабола $ y = x^2 - 3x + 3 $ полностью лежит выше оси Ox, то есть выражение $ x^2 - 3x + 3 $ всегда положительно.

Следовательно, неравенство $ x^2 - 3x + 3 < 0 $ не имеет решений.

Решение исходного неравенства является пересечением множества решений и ОДЗ. Пересечение пустого множества с любым другим множеством есть пустое множество.

Ответ: решений нет.

2) Решим неравенство $ \log_{\frac{1}{2}} \frac{2x^2 + 3}{x - 7} < 0 $.

Найдем ОДЗ. Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:

$ \frac{2x^2 + 3}{x - 7} > 0 $

Числитель $ 2x^2 + 3 $ всегда положителен при любых действительных значениях $x$, так как $x^2 \ge 0$, а значит $2x^2 + 3 \ge 3$. Следовательно, знак дроби определяется знаком знаменателя:

$ x - 7 > 0 $

$ x > 7 $

Таким образом, ОДЗ: $ x \in (7, +\infty) $.

Теперь решим неравенство. Представим 0 в виде логарифма по основанию $ \frac{1}{2} $:

$ \log_{\frac{1}{2}} \frac{2x^2 + 3}{x - 7} < \log_{\frac{1}{2}} 1 $

Так как основание логарифма $ 0 < \frac{1}{2} < 1 $, логарифмическая функция является убывающей. Поэтому при переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный:

$ \frac{2x^2 + 3}{x - 7} > 1 $

Учитывая ОДЗ ($x > 7$), знаменатель $ x - 7 $ положителен. Можем умножить обе части неравенства на $ x - 7 $, сохранив знак:

$ 2x^2 + 3 > x - 7 $

$ 2x^2 - x + 10 > 0 $

Рассмотрим квадратичную функцию $ y = 2x^2 - x + 10 $. Найдем ее дискриминант:

$ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(2)(10) = 1 - 80 = -79 $

Поскольку дискриминант $ D < 0 $ и старший коэффициент $ a = 2 > 0 $, парабола $ y = 2x^2 - x + 10 $ полностью лежит выше оси Ox, то есть выражение $ 2x^2 - x + 10 $ всегда положительно для любого $x \in \mathbb{R}$.

Решение неравенства $ 2x^2 - x + 10 > 0 $ — это $ x \in (-\infty, +\infty) $.

Итоговое решение — это пересечение множества $ x \in (-\infty, +\infty) $ и ОДЗ $ x \in (7, +\infty) $.

Ответ: $ (7, +\infty) $.

3) Решим неравенство $ \lg(3x - 4) < \lg(2x + 1) $.

Напомним, что $ \lg $ — это десятичный логарифм ($ \log_{10} $).

Найдем ОДЗ. Аргументы обоих логарифмов должны быть строго больше нуля. Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} 3x - 4 > 0 \\ 2x + 1 > 0 \end{cases} $

Из первого неравенства: $ 3x > 4 \implies x > \frac{4}{3} $.

Из второго неравенства: $ 2x > -1 \implies x > -\frac{1}{2} $.

Пересечением этих двух условий является $ x > \frac{4}{3} $. Таким образом, ОДЗ: $ x \in (\frac{4}{3}, +\infty) $.

Теперь решим само неравенство:

$ \lg(3x - 4) < \lg(2x + 1) $

Так как основание логарифма $ 10 > 1 $, логарифмическая функция является возрастающей. Поэтому при переходе к аргументам знак неравенства сохраняется:

$ 3x - 4 < 2x + 1 $

Решим это линейное неравенство:

$ 3x - 2x < 1 + 4 $

$ x < 5 $

Итоговое решение — это пересечение полученного результата $ x < 5 $ и ОДЗ $ x > \frac{4}{3} $.

Объединяя условия, получаем $ \frac{4}{3} < x < 5 $.

Ответ: $ (\frac{4}{3}, 5) $.

4) Решим неравенство $ \log_{\frac{1}{2}}(2x + 3) > \log_{\frac{1}{2}}(x + 1) $.

Найдем ОДЗ. Аргументы обоих логарифмов должны быть строго больше нуля. Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} 2x + 3 > 0 \\ x + 1 > 0 \end{cases} $

Из первого неравенства: $ 2x > -3 \implies x > -\frac{3}{2} $.

Из второго неравенства: $ x > -1 $.

Пересечением этих двух условий является $ x > -1 $. Таким образом, ОДЗ: $ x \in (-1, +\infty) $.

Теперь решим само неравенство:

$ \log_{\frac{1}{2}}(2x + 3) > \log_{\frac{1}{2}}(x + 1) $

Так как основание логарифма $ 0 < \frac{1}{2} < 1 $, логарифмическая функция является убывающей. Поэтому при переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный:

$ 2x + 3 < x + 1 $

Решим это линейное неравенство:

$ 2x - x < 1 - 3 $

$ x < -2 $

Итоговое решение — это пересечение полученного результата $ x < -2 $ и ОДЗ $ x > -1 $.

Множества $ x < -2 $ и $ x > -1 $ не имеют общих точек. Их пересечение пусто.

Ответ: решений нет.