Страница 266 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

898. Выяснить, при каких значениях $x$ справедливо неравенство:

1) $\log_x 8 < \log_x 10;$2) $\log_x \frac{3}{4} < \log_x \frac{1}{2}.$

1) $\log_x 8 < \log_x 10$

Для решения данного логарифмического неравенства необходимо проанализировать поведение логарифмической функции в зависимости от ее основания $x$.

Во-первых, определим область допустимых значений (ОДЗ). Основание логарифма $x$ должно быть строго больше нуля и не равно единице. Аргументы логарифмов (8 и 10) уже положительны. Таким образом, ОДЗ: $x > 0$ и $x \neq 1$, что можно записать в виде объединения интервалов: $x \in (0, 1) \cup (1, +\infty)$.

Рассмотрим два случая:

Случай 1: Основание $x > 1$.
Когда основание логарифма больше единицы, логарифмическая функция $y = \log_x a$ является возрастающей. Это значит, что для любых $a_1 > a_2 > 0$ справедливо неравенство $\log_x a_1 > \log_x a_2$. Следовательно, при переходе от логарифмов к их аргументам знак исходного неравенства сохраняется.
$\log_x 8 < \log_x 10 \implies 8 < 10$.
Неравенство $8 < 10$ является верным, поэтому все значения $x$ из рассматриваемого промежутка $x \in (1, +\infty)$ являются решениями.

Случай 2: Основание $0 < x < 1$.
Когда основание логарифма находится в интервале от 0 до 1, логарифмическая функция является убывающей. Это значит, что для любых $a_1 > a_2 > 0$ справедливо неравенство $\log_x a_1 < \log_x a_2$. Следовательно, при переходе от логарифмов к их аргументам знак исходного неравенства меняется на противоположный.
$\log_x 8 < \log_x 10 \implies 8 > 10$.
Неравенство $8 > 10$ является ложным, поэтому в промежутке $x \in (0, 1)$ решений нет.

Объединяя решения, полученные в обоих случаях, приходим к выводу, что исходное неравенство справедливо только для $x > 1$.
Ответ: $x \in (1, +\infty)$.

2) $\log_x \frac{3}{4} < \log_x \frac{1}{2}$

Решение этого неравенства также основано на анализе значения основания логарифма $x$.

ОДЗ для этого неравенства такое же, как и в предыдущем пункте: $x > 0$ и $x \neq 1$, так как аргументы $\frac{3}{4}$ и $\frac{1}{2}$ положительны. ОДЗ: $x \in (0, 1) \cup (1, +\infty)$.

Сравним аргументы логарифмов: $\frac{3}{4} = 0.75$, а $\frac{1}{2} = 0.5$. Очевидно, что $\frac{3}{4} > \frac{1}{2}$.

Рассмотрим два случая:

Случай 1: Основание $x > 1$.
Логарифмическая функция является возрастающей, поэтому знак неравенства при переходе к аргументам сохраняется:
$\frac{3}{4} < \frac{1}{2}$.
Это неравенство ($0.75 < 0.5$) является ложным. Следовательно, на промежутке $x \in (1, +\infty)$ решений нет.

Случай 2: Основание $0 < x < 1$.
Логарифмическая функция является убывающей, поэтому знак неравенства при переходе к аргументам меняется на противоположный:
$\frac{3}{4} > \frac{1}{2}$.
Это неравенство ($0.75 > 0.5$) является верным. Следовательно, все значения $x$ из рассматриваемого промежутка $x \in (0, 1)$ являются решениями.

Объединяя результаты, получаем, что исходное неравенство справедливо для $0 < x < 1$.
Ответ: $x \in (0, 1)$.

899. Решить графически уравнение:

1) $\log_3 x = \frac{3}{x}$;

2) $2^x = \log_{\frac{1}{2}} x.$

1) Для того чтобы решить уравнение $\log_3 x = \frac{3}{x}$ графически, необходимо построить в одной системе координат графики двух функций: $y_1 = \log_3 x$ и $y_2 = \frac{3}{x}$. Решением уравнения будет абсцисса (координата $x$) точки пересечения этих графиков.

Проанализируем и построим график функции $y_1 = \log_3 x$:

• Область определения: $x > 0$.
• Свойства: Это логарифмическая функция с основанием $3 > 1$, следовательно, она является строго возрастающей на всей области определения.
• Ключевые точки:
  • при $x=1$, $y_1 = \log_3 1 = 0$; точка $(1, 0)$.
  • при $x=3$, $y_1 = \log_3 3 = 1$; точка $(3, 1)$.
  • при $x=9$, $y_1 = \log_3 9 = 2$; точка $(9, 2)$.

Проанализируем и построим график функции $y_2 = \frac{3}{x}$:

• Область определения: $x \neq 0$. Так как первая функция определена только для $x > 0$, нас интересует ветвь гиперболы в первой координатной четверти.
• Свойства: При $x > 0$ функция является строго убывающей.
• Ключевые точки:
  • при $x=1$, $y_2 = \frac{3}{1} = 3$; точка $(1, 3)$.
  • при $x=3$, $y_2 = \frac{3}{3} = 1$; точка $(3, 1)$.
  • при $x=6$, $y_2 = \frac{3}{6} = 0.5$; точка $(6, 0.5)$.

Нанесем ключевые точки на координатную плоскость и соединим их плавными линиями. График $y_1 = \log_3 x$ — возрастающая кривая, проходящая через $(1,0)$ и $(3,1)$. График $y_2 = \frac{3}{x}$ — убывающая кривая (ветвь гиперболы), проходящая через $(1,3)$ и $(3,1)$.

Так как одна функция строго возрастает, а другая строго убывает на общей области определения $(0, +\infty)$, их графики могут пересечься не более одного раза. Из анализа ключевых точек и построения графиков видно, что они пересекаются в точке $(3, 1)$.

Проверим, является ли $x=3$ корнем уравнения, подставив это значение в исходное уравнение:

$\log_3 3 = \frac{3}{3}$

$1 = 1$

Равенство верное, значит $x=3$ — единственный корень уравнения.

Ответ: $x=3$.

2) Для решения уравнения $2^x = \log_{\frac{1}{2}} x$ построим в одной системе координат графики функций $y_1 = 2^x$ и $y_2 = \log_{\frac{1}{2}} x$.

Проанализируем и построим график функции $y_1 = 2^x$:

• Область определения: все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$).
• Свойства: Это показательная функция с основанием $2 > 1$, она является строго возрастающей.
• Ключевые точки:
  • при $x=-1$, $y_1 = 2^{-1} = 0.5$; точка $(-1, 0.5)$.
  • при $x=0$, $y_1 = 2^0 = 1$; точка $(0, 1)$.
  • при $x=1$, $y_1 = 2^1 = 2$; точка $(1, 2)$.

Проанализируем и построим график функции $y_2 = \log_{\frac{1}{2}} x$:

• Область определения: $x > 0$.
• Свойства: Это логарифмическая функция с основанием $a = \frac{1}{2}$, где $0 < a < 1$. Она является строго убывающей.
• Ключевые точки:
  • при $x=0.25$, $y_2 = \log_{0.5} 0.25 = 2$; точка $(0.25, 2)$.
  • при $x=0.5$, $y_2 = \log_{0.5} 0.5 = 1$; точка $(0.5, 1)$.
  • при $x=1$, $y_2 = \log_{0.5} 1 = 0$; точка $(1, 0)$.

Построим эскизы графиков. На общей области определения $x > 0$ функция $y_1=2^x$ строго возрастает, а функция $y_2=\log_{\frac{1}{2}} x$ строго убывает. Следовательно, их графики могут пересечься только в одной точке.

Из графиков видно, что точка пересечения существует и ее абсцисса находится в интервале $(0, 1)$. Попробуем оценить ее положение более точно, сравнивая значения функций в ключевых точках:

• При $x=0.5$: $y_1(0.5) = 2^{0.5} = \sqrt{2} \approx 1.414$, а $y_2(0.5) = 1$. В этой точке $y_1 > y_2$.
• При $x=0.25$: $y_1(0.25) = 2^{0.25} = \sqrt[4]{2} \approx 1.189$, а $y_2(0.25) = 2$. В этой точке $y_1 < y_2$.

Поскольку на концах отрезка $[0.25, 0.5]$ разность значений функций $y_1(x) - y_2(x)$ меняет знак, а сами функции непрерывны, корень уравнения действительно находится в интервале $(0.25, 0.5)$. Точное аналитическое решение данного трансцендентного уравнения найти сложно. Графический метод позволяет нам утверждать, что решение существует и оно единственно.

Ответ: Уравнение имеет один корень, который является абсциссой точки пересечения графиков функций $y=2^x$ и $y=\log_{\frac{1}{2}} x$. Приблизительное значение корня лежит в интервале $(0.25, 0.5)$.

Решить уравнение (900—904).

900. 1) $3^{4x} = 10;$ 2) $2^{3x} = 3;$ 3) $1,3^{3x-2} = 3;$ 4) $(\frac{1}{3})^{5+4x} = 1,5;$

5) $16^x - 4^{x+1} - 14 = 0;$ 6) $25^x + 2 \cdot 5^x - 15 = 0.$

1) $3^{4x} = 10$

Это показательное уравнение. Для его решения прологарифмируем обе части уравнения по основанию 3.

$\log_3(3^{4x}) = \log_3(10)$

Используя свойство логарифма $\log_a(a^b) = b$, получаем:

$4x = \log_3(10)$

Теперь разделим обе части на 4, чтобы найти $x$:

$x = \frac{\log_3(10)}{4}$

Ответ: $x = \frac{\log_3(10)}{4}$

2) $2^{3x} = 3$

Это показательное уравнение. Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 2.

$\log_2(2^{3x}) = \log_2(3)$

Применяя свойство логарифма $\log_a(a^b) = b$, имеем:

$3x = \log_2(3)$

Разделим обе части на 3, чтобы выразить $x$:

$x = \frac{\log_2(3)}{3}$

Ответ: $x = \frac{\log_2(3)}{3}$

3) $1,3^{3x-2} = 3$

Данное показательное уравнение решается логарифмированием обеих частей по основанию 1,3.

$\log_{1,3}(1,3^{3x-2}) = \log_{1,3}(3)$

Используя свойство логарифма $\log_a(a^b) = b$, получаем:

$3x - 2 = \log_{1,3}(3)$

Далее решаем полученное линейное уравнение относительно $x$. Сначала перенесем -2 в правую часть:

$3x = 2 + \log_{1,3}(3)$

Разделим обе части на 3:

$x = \frac{2 + \log_{1,3}(3)}{3}$

Ответ: $x = \frac{2 + \log_{1,3}(3)}{3}$

4) $(\frac{1}{3})^{5+4x} = 1,5$

Преобразуем уравнение. Заметим, что $\frac{1}{3} = 3^{-1}$ и $1,5 = \frac{3}{2}$.

$(3^{-1})^{5+4x} = \frac{3}{2}$

$3^{-(5+4x)} = \frac{3}{2}$

$3^{-5-4x} = \frac{3}{2}$

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 3.

$\log_3(3^{-5-4x}) = \log_3(\frac{3}{2})$

В левой части используем свойство $\log_a(a^b) = b$, а в правой части свойство логарифма частного $\log_a(\frac{b}{c}) = \log_a(b) - \log_a(c)$:

$-5 - 4x = \log_3(3) - \log_3(2)$

$-5 - 4x = 1 - \log_3(2)$

Теперь решим это линейное уравнение относительно $x$.

$-4x = 5 + 1 - \log_3(2)$

$-4x = 6 - \log_3(2)$

Умножим обе части на -1:

$4x = \log_3(2) - 6$

$x = \frac{\log_3(2) - 6}{4}$

Ответ: $x = \frac{\log_3(2) - 6}{4}$

5) $16^x - 4^{x+1} - 14 = 0$

Приведем все степени к одному основанию 4. Заметим, что $16 = 4^2$ и $4^{x+1} = 4^x \cdot 4^1$.

$(4^2)^x - 4 \cdot 4^x - 14 = 0$

$(4^x)^2 - 4 \cdot 4^x - 14 = 0$

Это уравнение является квадратным относительно $4^x$. Сделаем замену переменной. Пусть $y = 4^x$. Так как показательная функция всегда положительна, $y > 0$.

Получаем квадратное уравнение: $y^2 - 4y - 14 = 0$.

Решим его с помощью формулы для корней квадратного уравнения. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 16 + 56 = 72$.

Корни уравнения:

$y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{72}}{2} = \frac{4 \pm 6\sqrt{2}}{2} = 2 \pm 3\sqrt{2}$.

Получаем два корня для $y$:

$y_1 = 2 + 3\sqrt{2}$

$y_2 = 2 - 3\sqrt{2}$

Проверим условие $y > 0$.

$y_1 = 2 + 3\sqrt{2} > 0$. Этот корень подходит.

$y_2 = 2 - 3\sqrt{2} \approx 2 - 3 \cdot 1,414 = 2 - 4,242 < 0$. Этот корень не удовлетворяет условию $y > 0$, поэтому он является посторонним.

Вернемся к замене $y = 4^x$:

$4^x = 2 + 3\sqrt{2}$

Прологарифмируем обе части по основанию 4:

$x = \log_4(2 + 3\sqrt{2})$

Ответ: $x = \log_4(2 + 3\sqrt{2})$

6) $25^x + 2 \cdot 5^x - 15 = 0$

Приведем все степени к одному основанию 5. Так как $25 = 5^2$, уравнение можно переписать в виде:

$(5^2)^x + 2 \cdot 5^x - 15 = 0$

$(5^x)^2 + 2 \cdot 5^x - 15 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 5^x$. Поскольку $5^x > 0$ для любого $x$, то $t > 0$.

Уравнение принимает вид квадратного: $t^2 + 2t - 15 = 0$.

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета. Сумма корней равна -2, а произведение -15. Легко подобрать корни:

$t_1 = 3$ и $t_2 = -5$.

Проверим условие $t > 0$.

$t_1 = 3 > 0$. Этот корень подходит.

$t_2 = -5 < 0$. Этот корень не подходит.

Возвращаемся к замене $t = 5^x$:

$5^x = 3$

Чтобы найти $x$, прологарифмируем обе части по основанию 5:

$x = \log_5(3)$

Ответ: $x = \log_5(3)$

901. 1) $\log_3 x + \log_9 x + \log_{27} x = \frac{11}{12}$;

2) $\log_3 x + \log_{\sqrt{3}} x + \log_{\frac{1}{3}} x = 6$;

3) $\log_3 x \cdot \log_2 x = 4 \log_3 2$;

4) $\log_5 x \cdot \log_3 x = 9 \log_5 3$.

1) $\log_3 x + \log_9 x + \log_{27} x = \frac{11}{12}$

Область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения: $x > 0$.

Для решения приведем все логарифмы к одному основанию 3, используя формулу перехода к новому основанию $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$.

$\log_9 x = \log_{3^2} x = \frac{1}{2} \log_3 x$

$\log_{27} x = \log_{3^3} x = \frac{1}{3} \log_3 x$

Подставим полученные выражения в исходное уравнение:

$\log_3 x + \frac{1}{2} \log_3 x + \frac{1}{3} \log_3 x = \frac{11}{12}$

Вынесем $\log_3 x$ за скобки:

$\log_3 x (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3}) = \frac{11}{12}$

$\log_3 x (\frac{6+3+2}{6}) = \frac{11}{12}$

$\log_3 x \cdot \frac{11}{6} = \frac{11}{12}$

Разделим обе части уравнения на $\frac{11}{6}$:

$\log_3 x = \frac{11}{12} \cdot \frac{6}{11}$

$\log_3 x = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

Теперь найдем $x$ по определению логарифма:

$x = 3^{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}$

Корень $x = \sqrt{3}$ удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $\sqrt{3}$.

2) $\log_3 x + \log_{\sqrt{3}} x + \log_{\frac{1}{3}} x = 6$

ОДЗ: $x > 0$.

Приведем все логарифмы к основанию 3.

$\log_{\sqrt{3}} x = \log_{3^{1/2}} x = \frac{1}{1/2} \log_3 x = 2 \log_3 x$

$\log_{\frac{1}{3}} x = \log_{3^{-1}} x = \frac{1}{-1} \log_3 x = - \log_3 x$

Подставим в исходное уравнение:

$\log_3 x + 2 \log_3 x - \log_3 x = 6$

Приведем подобные слагаемые:

$2 \log_3 x = 6$

$\log_3 x = 3$

По определению логарифма:

$x = 3^3 = 27$

Корень $x = 27$ удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $27$.

3) $\log_3 x \cdot \log_2 x = 4 \log_3 2$

ОДЗ: $x > 0$.

Приведем логарифм $\log_2 x$ к основанию 3 по формуле $\log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b}$:

$\log_2 x = \frac{\log_3 x}{\log_3 2}$

Подставим это выражение в уравнение:

$\log_3 x \cdot \frac{\log_3 x}{\log_3 2} = 4 \log_3 2$

$\frac{(\log_3 x)^2}{\log_3 2} = 4 \log_3 2$

$(\log_3 x)^2 = 4 (\log_3 2)^2$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$\log_3 x = \pm 2 \log_3 2$

Рассмотрим два случая:

1. $\log_3 x = 2 \log_3 2 = \log_3 (2^2) = \log_3 4$. Отсюда $x = 4$.

2. $\log_3 x = -2 \log_3 2 = \log_3 (2^{-2}) = \log_3 \frac{1}{4}$. Отсюда $x = \frac{1}{4}$.

Оба корня $x_1=4$ и $x_2=\frac{1}{4}$ удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $4; \frac{1}{4}$.

4) $\log_5 x \cdot \log_3 x = 9 \log_5 3$

ОДЗ: $x > 0$.

Приведем логарифм $\log_3 x$ к основанию 5:

$\log_3 x = \frac{\log_5 x}{\log_5 3}$

Подставим в исходное уравнение:

$\log_5 x \cdot \frac{\log_5 x}{\log_5 3} = 9 \log_5 3$

$\frac{(\log_5 x)^2}{\log_5 3} = 9 \log_5 3$

$(\log_5 x)^2 = 9 (\log_5 3)^2$

Извлечем квадратный корень:

$\log_5 x = \pm 3 \log_5 3$

Рассмотрим два случая:

1. $\log_5 x = 3 \log_5 3 = \log_5 (3^3) = \log_5 27$. Отсюда $x = 27$.

2. $\log_5 x = -3 \log_5 3 = \log_5 (3^{-3}) = \log_5 \frac{1}{27}$. Отсюда $x = \frac{1}{27}$.

Оба корня $x_1=27$ и $x_2=\frac{1}{27}$ удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $27; \frac{1}{27}$.

902. 1) $\log_3 (2 - x^2) - \log_3 (-x) = 0;$

2) $\log_5 (x^2 - 12) - \log_5 (-x) = 0;$

3) $\log_2 \sqrt{x - 3} + \log_2 \sqrt{3x - 7} = 2;$

4) $\lg (x + 6) - \lg \sqrt{2x - 3} = \lg 4.$

1) $ \log_{3}(2 - x^2) - \log_{3}(-x) = 0 $
Первым шагом найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:
$ \begin{cases} 2 - x^2 > 0 \\ -x > 0 \end{cases} $
Решим систему неравенств:
$ \begin{cases} x^2 < 2 \\ x < 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} -\sqrt{2} < x < \sqrt{2} \\ x < 0 \end{cases} $
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $ -\sqrt{2} < x < 0 $.
Теперь решим само уравнение. Перенесем второй логарифм в правую часть:
$ \log_{3}(2 - x^2) = \log_{3}(-x) $
Так как основания логарифмов одинаковы, мы можем приравнять их аргументы:
$ 2 - x^2 = -x $
$ x^2 - x - 2 = 0 $
Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 $.
Корни уравнения:
$ x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 3}{2} = 2 $
$ x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 3}{2} = -1 $
Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($ -\sqrt{2} < x < 0 $).
Корень $ x_1 = 2 $ не принадлежит ОДЗ.
Корень $ x_2 = -1 $ принадлежит ОДЗ, так как $ -\sqrt{2} \approx -1.414 $ и $ -1.414 < -1 < 0 $.
Следовательно, у уравнения есть только один корень.
Ответ: $ -1 $

2) $ \log_{5}(x^2 - 12) - \log_{5}(-x) = 0 $
Найдем область допустимых значений (ОДЗ):
$ \begin{cases} x^2 - 12 > 0 \\ -x > 0 \end{cases} $
Решим систему неравенств:
$ \begin{cases} x^2 > 12 \\ x < 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x < -\sqrt{12} \text{ или } x > \sqrt{12} \\ x < 0 \end{cases} $
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $ x < -\sqrt{12} $ (так как $ \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \approx 3.46 $).
Перенесем второй логарифм в правую часть уравнения:
$ \log_{5}(x^2 - 12) = \log_{5}(-x) $
Приравняем аргументы логарифмов:
$ x^2 - 12 = -x $
$ x^2 + x - 12 = 0 $
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета: $ x_1 + x_2 = -1 $, $ x_1 \cdot x_2 = -12 $. Корни $ x_1 = -4 $ и $ x_2 = 3 $.
Проверим корни на соответствие ОДЗ ($ x < -\sqrt{12} \approx -3.46 $).
Корень $ x_1 = -4 $ принадлежит ОДЗ, так как $ -4 < -3.46 $.
Корень $ x_2 = 3 $ не принадлежит ОДЗ.
Таким образом, решением является только один корень.
Ответ: $ -4 $

3) $ \log_{2}\sqrt{x-3} + \log_{2}\sqrt{3x-7} = 2 $
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под логарифмами должны быть строго положительны:
$ \begin{cases} \sqrt{x-3} > 0 \\ \sqrt{3x-7} > 0 \end{cases} $
Это эквивалентно системе:
$ \begin{cases} x-3 > 0 \\ 3x-7 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 3 \\ x > 7/3 \end{cases} $
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $ x > 3 $.
Используем свойство суммы логарифмов $ \log_a b + \log_a c = \log_a (bc) $:
$ \log_{2}(\sqrt{x-3} \cdot \sqrt{3x-7}) = 2 $
$ \log_{2}(\sqrt{(x-3)(3x-7)}) = 2 $
По определению логарифма:
$ \sqrt{(x-3)(3x-7)} = 2^2 $
$ \sqrt{(x-3)(3x-7)} = 4 $
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$ (x-3)(3x-7) = 16 $
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$ 3x^2 - 7x - 9x + 21 = 16 $
$ 3x^2 - 16x + 5 = 0 $
Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант:
$ D = (-16)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 5 = 256 - 60 = 196 = 14^2 $
$ x_1 = \frac{16 + 14}{2 \cdot 3} = \frac{30}{6} = 5 $
$ x_2 = \frac{16 - 14}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $
Проверим корни на соответствие ОДЗ ($ x > 3 $).
Корень $ x_1 = 5 $ принадлежит ОДЗ.
Корень $ x_2 = 1/3 $ не принадлежит ОДЗ.
Следовательно, решением является только $ x=5 $.
Ответ: $ 5 $

4) $ \lg(x+6) - \lg\sqrt{2x-3} = \lg 4 $
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы десятичных логарифмов ($ \lg $) должны быть положительными:
$ \begin{cases} x+6 > 0 \\ \sqrt{2x-3} > 0 \end{cases} $
Решим систему:
$ \begin{cases} x > -6 \\ 2x-3 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > -6 \\ x > 3/2 \end{cases} $
Объединяя, получаем ОДЗ: $ x > 1.5 $.
Используем свойство разности логарифмов $ \log_a b - \log_a c = \log_a (b/c) $:
$ \lg\left(\frac{x+6}{\sqrt{2x-3}}\right) = \lg 4 $
Приравняем аргументы логарифмов:
$ \frac{x+6}{\sqrt{2x-3}} = 4 $
$ x+6 = 4\sqrt{2x-3} $
Возведем обе части в квадрат. Условие $ x+6 \ge 0 $ ($ x \ge -6 $) уже учтено в ОДЗ.
$ (x+6)^2 = (4\sqrt{2x-3})^2 $
$ x^2 + 12x + 36 = 16(2x-3) $
$ x^2 + 12x + 36 = 32x - 48 $
$ x^2 - 20x + 84 = 0 $
Решим квадратное уравнение по теореме Виета: $ x_1 + x_2 = 20 $, $ x_1 \cdot x_2 = 84 $. Корни $ x_1 = 6 $ и $ x_2 = 14 $.
Проверим оба корня на соответствие ОДЗ ($ x > 1.5 $).
Корень $ x_1 = 6 $ принадлежит ОДЗ.
Корень $ x_2 = 14 $ принадлежит ОДЗ.
Оба корня подходят.
Ответ: $ 6; 14 $

903. 1) $\log_{\sqrt{2}} x + 4 \log_4 x + \log_8 x = 13;$

2) $\log_{0.5} (x + 2) - \log_2 (x - 3) = \frac{1}{2} \log_{\frac{1}{\sqrt{2}}} (-4x - 8).$

1) $\log_{\sqrt{2}} x + 4 \log_4 x + \log_8 x = 13$
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть положительным, следовательно, $x > 0$.
Приведем все логарифмы к одному основанию, например, к основанию 2, используя формулу перехода к новому основанию $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$.
$\log_{\sqrt{2}} x = \log_{2^{1/2}} x = \frac{1}{1/2} \log_2 x = 2 \log_2 x$
$4 \log_4 x = 4 \log_{2^2} x = 4 \cdot \frac{1}{2} \log_2 x = 2 \log_2 x$
$\log_8 x = \log_{2^3} x = \frac{1}{3} \log_2 x$
Подставим полученные выражения в исходное уравнение:
$2 \log_2 x + 2 \log_2 x + \frac{1}{3} \log_2 x = 13$
Сложим коэффициенты при логарифме:
$(2 + 2 + \frac{1}{3}) \log_2 x = 13$
$(4 + \frac{1}{3}) \log_2 x = 13$
$\frac{13}{3} \log_2 x = 13$
Разделим обе части на $\frac{13}{3}$:
$\log_2 x = 13 \cdot \frac{3}{13}$
$\log_2 x = 3$
По определению логарифма:
$x = 2^3$
$x = 8$
Полученное значение $x=8$ удовлетворяет ОДЗ ($8 > 0$).
Ответ: 8

2) $\log_{0,5} (x+2) - \log_2 (x-3) = \frac{1}{2} \log_{\frac{1}{\sqrt{2}}} (-4x-8)$
Найдем область допустимых значений (ОДЗ) уравнения. Для этого аргументы всех логарифмов должны быть строго положительными:
$\begin{cases} x+2 > 0 \\ x-3 > 0 \\ -4x-8 > 0 \end{cases}$
Решим систему неравенств:
$\begin{cases} x > -2 \\ x > 3 \\ -4x > 8 \end{cases}$
$\begin{cases} x > -2 \\ x > 3 \\ x < -2 \end{cases}$
Эта система не имеет решений, так как условия $x > 3$ и $x < -2$ являются взаимоисключающими (не существует числа, которое одновременно больше 3 и меньше -2).
Поскольку область допустимых значений является пустым множеством, исходное уравнение не имеет решений.
Ответ: решений нет.

904. 1) $\log_2 \frac{2}{x-1} = \log_2 x;$

2) $\log_{\frac{1}{2}} \frac{10}{7-x} = \log_{\frac{1}{2}} x;$

3) $\lg \frac{x+8}{x-1} = \lg x;$

4) $\lg \frac{x-4}{x-2} = \lg x.$

1) Дано логарифмическое уравнение $ \log_2 \frac{2}{x-1} = \log_2 x $. Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными: $ \frac{2}{x-1} > 0 $ и $ x > 0 $. Из первого неравенства, так как числитель $2$ положителен, следует, что знаменатель также должен быть положителен: $ x-1 > 0 $, откуда $ x > 1 $. Объединяя оба условия ($ x > 1 $ и $ x > 0 $), получаем ОДЗ: $ x > 1 $. Поскольку основания логарифмов в уравнении одинаковы, мы можем приравнять их аргументы: $ \frac{2}{x-1} = x $ Умножим обе части на $ (x-1) $, так как из ОДЗ мы знаем, что $ x-1 \neq 0 $: $ 2 = x(x-1) $ $ 2 = x^2 - x $ $ x^2 - x - 2 = 0 $ Это квадратное уравнение. Найдем его корни, например, по теореме Виета: сумма корней равна $1$, а произведение равно $-2$. Корни: $ x_1 = 2 $ и $ x_2 = -1 $. Теперь необходимо проверить, принадлежат ли найденные корни ОДЗ ($ x > 1 $). Корень $ x_1 = 2 $ удовлетворяет условию $ 2 > 1 $. Корень $ x_2 = -1 $ не удовлетворяет условию $ -1 > 1 $. Следовательно, у уравнения есть только один корень. Ответ: $ 2 $.

2) Дано логарифмическое уравнение $ \log_{\frac{1}{2}} \frac{10}{7-x} = \log_{\frac{1}{2}} x $. ОДЗ определяется условиями: $ \frac{10}{7-x} > 0 $ и $ x > 0 $. Из первого неравенства, так как числитель $10$ положителен, знаменатель $ 7-x $ также должен быть положителен: $ 7-x > 0 $, откуда $ x < 7 $. Объединяя условия ($ x < 7 $ и $ x > 0 $), получаем ОДЗ: $ 0 < x < 7 $. Приравниваем аргументы логарифмов: $ \frac{10}{7-x} = x $ $ 10 = x(7-x) $ $ 10 = 7x - x^2 $ $ x^2 - 7x + 10 = 0 $ Найдем корни квадратного уравнения. По теореме Виета: сумма корней равна $7$, произведение равно $10$. Корни: $ x_1 = 2 $ и $ x_2 = 5 $. Проверяем корни на принадлежность ОДЗ ($ 0 < x < 7 $). Корень $ x_1 = 2 $ удовлетворяет условию $ 0 < 2 < 7 $. Корень $ x_2 = 5 $ удовлетворяет условию $ 0 < 5 < 7 $. Оба корня являются решениями уравнения. Ответ: $ 2; 5 $.

3) Дано логарифмическое уравнение $ \lg \frac{x+8}{x-1} = \lg x $. (lg - это логарифм по основанию 10). ОДЗ: $ \frac{x+8}{x-1} > 0 $ и $ x > 0 $. Решим первое неравенство методом интервалов. Нули числителя и знаменателя: $ x = -8 $ и $ x = 1 $. Эти точки делят числовую прямую на интервалы. Неравенство выполняется при $ x \in (-\infty, -8) \cup (1, +\infty) $. Теперь учтем второе условие $ x > 0 $. Пересечение множеств $ (-\infty, -8) \cup (1, +\infty) $ и $ (0, +\infty) $ дает нам итоговую ОДЗ: $ x > 1 $. Приравниваем аргументы логарифмов: $ \frac{x+8}{x-1} = x $ $ x+8 = x(x-1) $ $ x+8 = x^2 - x $ $ x^2 - 2x - 8 = 0 $ Корни этого квадратного уравнения: $ x_1 = 4 $ и $ x_2 = -2 $. Проверяем корни по ОДЗ ($ x > 1 $). Корень $ x_1 = 4 $ удовлетворяет условию $ 4 > 1 $. Корень $ x_2 = -2 $ не удовлетворяет условию $ -2 > 1 $. Уравнение имеет один корень. Ответ: $ 4 $.

4) Дано логарифмическое уравнение $ \lg \frac{x-4}{x-2} = \lg x $. ОДЗ: $ \frac{x-4}{x-2} > 0 $ и $ x > 0 $. Решим первое неравенство методом интервалов. Нули числителя и знаменателя: $ x = 4 $ и $ x = 2 $. Неравенство выполняется при $ x \in (-\infty, 2) \cup (4, +\infty) $. Учитывая второе условие $ x > 0 $, получаем ОДЗ: $ x \in (0, 2) \cup (4, +\infty) $. Приравниваем аргументы логарифмов: $ \frac{x-4}{x-2} = x $ $ x-4 = x(x-2) $ $ x-4 = x^2 - 2x $ $ x^2 - 3x + 4 = 0 $ Для решения этого квадратного уравнения найдем дискриминант: $ D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9 - 16 = -7 $. Так как дискриминант отрицателен ($ D < 0 $), данное квадратное уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, исходное логарифмическое уравнение также не имеет решений. Ответ: нет корней.

905. Решить неравенство:

1) $\log_{\sqrt{6}} (x - 4) + \log_{\sqrt{6}} (x + 1) \le 2;$

2) $\log_{3\sqrt{2}} (x - 5) + \log_{3\sqrt{2}} (x + 12) \le 2;$

3) $\log_3 (8x^2 + x) > 2 + \log_3 x^2 + \log_3 x;$

4) $\log_2 x + \log_2 (x - 3) > \log_2 4;$

5) $\log_{\frac{1}{5}} (x - 10) - \log_{\frac{1}{5}} (x + 2) \ge -1;$

6) $\log_{\frac{1}{\sqrt{7}}} (x + 10) + \log_{\frac{1}{\sqrt{7}}} (x + 4) > -2.$

1) $\log_{\sqrt{6}} (x-4) + \log_{\sqrt{6}} (x+1) \le 2$

Первым шагом найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:
$\begin{cases} x-4 > 0 \\ x+1 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 4 \\ x > -1 \end{cases} \implies x > 4$.
Таким образом, ОДЗ: $x \in (4; +\infty)$.
Используем свойство суммы логарифмов: $\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$.
$\log_{\sqrt{6}} ((x-4)(x+1)) \le 2$.
Представим правую часть неравенства в виде логарифма с тем же основанием: $2 = \log_{\sqrt{6}} (\sqrt{6})^2 = \log_{\sqrt{6}} 6$.
$\log_{\sqrt{6}} (x^2 + x - 4x - 4) \le \log_{\sqrt{6}} 6$.
$\log_{\sqrt{6}} (x^2 - 3x - 4) \le \log_{\sqrt{6}} 6$.
Так как основание логарифма $\sqrt{6} > 1$, функция логарифма возрастающая, поэтому при переходе к подлогарифмическим выражениям знак неравенства сохраняется:
$x^2 - 3x - 4 \le 6$.
$x^2 - 3x - 10 \le 0$.
Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 3x - 10 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 5$ и $x_2 = -2$.
Решением неравенства $x^2 - 3x - 10 \le 0$ является промежуток $[-2; 5]$.
Теперь найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:
$x \in [-2; 5] \cap (4; +\infty) \implies x \in (4; 5]$.
Ответ: $(4; 5]$.

2) $\log_{3\sqrt{2}} (x-5) + \log_{3\sqrt{2}} (x+12) \le 2$

Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} x-5 > 0 \\ x+12 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 5 \\ x > -12 \end{cases} \implies x > 5$.
ОДЗ: $x \in (5; +\infty)$.
Применим свойство суммы логарифмов:
$\log_{3\sqrt{2}} ((x-5)(x+12)) \le 2$.
Представим $2$ как логарифм по основанию $3\sqrt{2}$: $2 = \log_{3\sqrt{2}} (3\sqrt{2})^2 = \log_{3\sqrt{2}} (9 \cdot 2) = \log_{3\sqrt{2}} 18$.
$\log_{3\sqrt{2}} (x^2 + 12x - 5x - 60) \le \log_{3\sqrt{2}} 18$.
$\log_{3\sqrt{2}} (x^2 + 7x - 60) \le \log_{3\sqrt{2}} 18$.
Основание логарифма $3\sqrt{2} = \sqrt{18} > 1$, поэтому знак неравенства сохраняется:
$x^2 + 7x - 60 \le 18$.
$x^2 + 7x - 78 \le 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 + 7x - 78 = 0$. Дискриминант $D = 7^2 - 4(1)(-78) = 49 + 312 = 361 = 19^2$.
$x_1 = \frac{-7-19}{2} = -13$, $x_2 = \frac{-7+19}{2} = 6$.
Решение неравенства: $x \in [-13; 6]$.
Пересекаем с ОДЗ: $x \in [-13; 6] \cap (5; +\infty) \implies x \in (5; 6]$.
Ответ: $(5; 6]$.

3) $\log_3 (8x^2 + x) > 2 + \log_3 x^2 + \log_3 x$

Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} 8x^2 + x > 0 \\ x^2 > 0 \\ x > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x(8x+1) > 0 \\ x \ne 0 \\ x > 0 \end{cases}$. Из $x>0$ следует, что $x \ne 0$ и $8x+1>0$. Таким образом, ОДЗ: $x > 0$.
Преобразуем неравенство, перенеся все логарифмы в одну сторону и представив $2$ как логарифм:
$\log_3 (8x^2 + x) > \log_3 (3^2) + \log_3 x^2 + \log_3 x$.
Используем свойства логарифмов:
$\log_3 (8x^2 + x) > \log_3 (9 \cdot x^2 \cdot x)$.
$\log_3 (8x^2 + x) > \log_3 (9x^3)$.
Основание $3 > 1$, поэтому знак неравенства сохраняется:
$8x^2 + x > 9x^3$.
$9x^3 - 8x^2 - x < 0$.
Вынесем $x$ за скобки: $x(9x^2 - 8x - 1) < 0$.
Так как по ОДЗ $x > 0$, мы можем разделить обе части на $x$ без изменения знака:
$9x^2 - 8x - 1 < 0$.
Найдем корни уравнения $9x^2 - 8x - 1 = 0$. Дискриминант $D = (-8)^2 - 4(9)(-1) = 64 + 36 = 100 = 10^2$.
$x_1 = \frac{8-10}{18} = -\frac{1}{9}$, $x_2 = \frac{8+10}{18} = 1$.
Решение неравенства: $x \in (-\frac{1}{9}; 1)$.
Пересекаем с ОДЗ: $x \in (-\frac{1}{9}; 1) \cap (0; +\infty) \implies x \in (0; 1)$.
Ответ: $(0; 1)$.

4) $\log_2 x + \log_2 (x-3) > \log_2 4$

Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} x > 0 \\ x-3 > 0 \end{cases} \implies x > 3$.
ОДЗ: $x \in (3; +\infty)$.
Преобразуем левую часть:
$\log_2(x(x-3)) > \log_2 4$.
Основание $2 > 1$, знак неравенства сохраняется:
$x(x-3) > 4$.
$x^2 - 3x - 4 > 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - 3x - 4 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = 4$, $x_2 = -1$.
Решение неравенства $x^2 - 3x - 4 > 0$ - это объединение интервалов $(-\infty; -1) \cup (4; +\infty)$.
Пересекаем с ОДЗ: $x \in ((-\infty; -1) \cup (4; +\infty)) \cap (3; +\infty) \implies x \in (4; +\infty)$.
Ответ: $(4; +\infty)$.

5) $\log_{\frac{1}{5}} (x-10) - \log_{\frac{1}{5}} (x+2) \ge -1$

Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} x-10 > 0 \\ x+2 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 10 \\ x > -2 \end{cases} \implies x > 10$.
ОДЗ: $x \in (10; +\infty)$.
Используем свойство разности логарифмов:
$\log_{\frac{1}{5}} \left(\frac{x-10}{x+2}\right) \ge -1$.
Представим $-1$ как логарифм по основанию $\frac{1}{5}$: $-1 = \log_{\frac{1}{5}} \left(\left(\frac{1}{5}\right)^{-1}\right) = \log_{\frac{1}{5}} 5$.
$\log_{\frac{1}{5}} \left(\frac{x-10}{x+2}\right) \ge \log_{\frac{1}{5}} 5$.
Так как основание логарифма $\frac{1}{5} \in (0; 1)$, функция убывающая, поэтому знак неравенства меняется на противоположный:
$\frac{x-10}{x+2} \le 5$.
$\frac{x-10}{x+2} - 5 \le 0$.
$\frac{x-10 - 5(x+2)}{x+2} \le 0$.
$\frac{x-10 - 5x - 10}{x+2} \le 0$.
$\frac{-4x - 20}{x+2} \le 0$.
Разделим на $-4$, меняя знак неравенства:
$\frac{x+5}{x+2} \ge 0$.
Решим методом интервалов. Нули числителя и знаменателя: $x=-5$ и $x=-2$.
Решение этого неравенства: $x \in (-\infty; -5] \cup (-2; +\infty)$.
Пересекаем с ОДЗ: $x \in ((-\infty; -5] \cup (-2; +\infty)) \cap (10; +\infty) \implies x \in (10; +\infty)$.
Ответ: $(10; +\infty)$.

6) $\log_{\frac{1}{\sqrt{7}}} (x+10) + \log_{\frac{1}{\sqrt{7}}} (x+4) > -2$

Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} x+10 > 0 \\ x+4 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -10 \\ x > -4 \end{cases} \implies x > -4$.
ОДЗ: $x \in (-4; +\infty)$.
Применим свойство суммы логарифмов:
$\log_{\frac{1}{\sqrt{7}}} ((x+10)(x+4)) > -2$.
Представим $-2$ как логарифм: $-2 = \log_{\frac{1}{\sqrt{7}}} \left(\left(\frac{1}{\sqrt{7}}\right)^{-2}\right) = \log_{\frac{1}{\sqrt{7}}} ((\sqrt{7})^2) = \log_{\frac{1}{\sqrt{7}}} 7$.
$\log_{\frac{1}{\sqrt{7}}} (x^2 + 14x + 40) > \log_{\frac{1}{\sqrt{7}}} 7$.
Основание $\frac{1}{\sqrt{7}} \in (0; 1)$, поэтому знак неравенства меняется:
$x^2 + 14x + 40 < 7$.
$x^2 + 14x + 33 < 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 + 14x + 33 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = -11$, $x_2 = -3$.
Решение неравенства: $x \in (-11; -3)$.
Пересекаем с ОДЗ: $x \in (-11; -3) \cap (-4; +\infty) \implies x \in (-4; -3)$.
Ответ: $(-4; -3)$.

Решить уравнение (906—907).

1) $\log_{\frac{1}{x}} 5 + \log_{\frac{1}{x^2}} 12 + \frac{1}{2}\log_x 3 = 1$;

2) $\frac{1}{2}\log_x 7 - \log_{\frac{1}{\sqrt{x}}} 3 - \log_{x^2} 28 = 1.$

1) $\log_{\frac{1}{x}} 5 + \log_{\frac{1}{x^2}} 12 + \frac{1}{2}\log_x 3 = 1$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Основание логарифма должно быть положительным и не равным единице.
1. Для $\log_{\frac{1}{x}} 5$: основание $\frac{1}{x} > 0 \implies x > 0$ и $\frac{1}{x} \neq 1 \implies x \neq 1$.
2. Для $\log_{\frac{1}{x^2}} 12$: основание $\frac{1}{x^2} > 0 \implies x^2 > 0 \implies x \neq 0$. Также $\frac{1}{x^2} \neq 1 \implies x^2 \neq 1 \implies x \neq \pm 1$.
3. Для $\log_x 3$: основание $x > 0$ и $x \neq 1$.
Объединяя все условия, получаем ОДЗ: $x \in (0, 1) \cup (1, \infty)$.

Теперь приведем все логарифмы к одному основанию $x$, используя формулу перехода к новому основанию и свойство логарифма $\log_{a^k} b = \frac{1}{k}\log_a b$.
$\log_{\frac{1}{x}} 5 = \log_{x^{-1}} 5 = \frac{1}{-1}\log_x 5 = -\log_x 5$.
$\log_{\frac{1}{x^2}} 12 = \log_{x^{-2}} 12 = \frac{1}{-2}\log_x 12 = -\frac{1}{2}\log_x 12$.
Подставим преобразованные выражения в исходное уравнение:
$-\log_x 5 - \frac{1}{2}\log_x 12 + \frac{1}{2}\log_x 3 = 1$.

Умножим обе части уравнения на -2, чтобы избавиться от дробей и знаков "минус":
$2\log_x 5 + \log_x 12 - \log_x 3 = -2$.
Используем свойства логарифмов ($n\log_a b = \log_a b^n$, $\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$, $\log_a b - \log_a c = \log_a(\frac{b}{c})$):
$\log_x (5^2) + \log_x 12 - \log_x 3 = -2$
$\log_x 25 + \log_x 12 - \log_x 3 = -2$
$\log_x \left(\frac{25 \cdot 12}{3}\right) = -2$
$\log_x (25 \cdot 4) = -2$
$\log_x 100 = -2$.

По определению логарифма ($ \log_b a = c \iff b^c=a $), получаем:
$x^{-2} = 100$
$\frac{1}{x^2} = 100$
$x^2 = \frac{1}{100}$
$x = \pm \sqrt{\frac{1}{100}} = \pm \frac{1}{10}$.

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x > 0$ и $x \neq 1$).
Корень $x = \frac{1}{10}$ удовлетворяет ОДЗ.
Корень $x = -\frac{1}{10}$ не удовлетворяет ОДЗ, так как он отрицательный.
Следовательно, решением уравнения является $x = \frac{1}{10}$.
Ответ: $x = \frac{1}{10}$.

2) $\frac{1}{2}\log_x 7 - \log_{\frac{1}{\sqrt{x}}} 3 - \log_{x^2} 28 = 1$

Определим ОДЗ. Основание логарифма должно быть положительным и не равным единице.
1. Для $\log_x 7$: $x > 0$ и $x \neq 1$.
2. Для $\log_{\frac{1}{\sqrt{x}}} 3$: $\frac{1}{\sqrt{x}} > 0 \implies \sqrt{x} > 0 \implies x > 0$. Также $\frac{1}{\sqrt{x}} \neq 1 \implies \sqrt{x} \neq 1 \implies x \neq 1$.
3. Для $\log_{x^2} 28$: $x^2 > 0 \implies x \neq 0$. Также $x^2 \neq 1 \implies x \neq \pm 1$.
Общая ОДЗ: $x > 0$ и $x \neq 1$, то есть $x \in (0, 1) \cup (1, \infty)$.

Приведем все логарифмы к основанию $x$:
$\log_{\frac{1}{\sqrt{x}}} 3 = \log_{x^{-1/2}} 3 = \frac{1}{-1/2}\log_x 3 = -2\log_x 3$.
$\log_{x^2} 28 = \frac{1}{2}\log_x 28$.
Подставим эти выражения в уравнение:
$\frac{1}{2}\log_x 7 - (-2\log_x 3) - \frac{1}{2}\log_x 28 = 1$
$\frac{1}{2}\log_x 7 + 2\log_x 3 - \frac{1}{2}\log_x 28 = 1$.

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дробей:
$\log_x 7 + 4\log_x 3 - \log_x 28 = 2$.
Используем свойства логарифмов:
$\log_x 7 + \log_x (3^4) - \log_x 28 = 2$
$\log_x 7 + \log_x 81 - \log_x 28 = 2$
$\log_x \left(\frac{7 \cdot 81}{28}\right) = 2$
Сократим дробь:
$\log_x \left(\frac{7 \cdot 81}{4 \cdot 7}\right) = 2$
$\log_x \left(\frac{81}{4}\right) = 2$.

По определению логарифма:
$x^2 = \frac{81}{4}$
$x = \pm \sqrt{\frac{81}{4}} = \pm \frac{9}{2}$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x > 0$ и $x \neq 1$).
Корень $x = \frac{9}{2}$ удовлетворяет ОДЗ.
Корень $x = -\frac{9}{2}$ не удовлетворяет ОДЗ.
Следовательно, решением уравнения является $x = \frac{9}{2}$.
Ответ: $x = \frac{9}{2}$.