Номер 900, страница 266 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

Решить уравнение (900—904).

900. 1) $3^{4x} = 10;$ 2) $2^{3x} = 3;$ 3) $1,3^{3x-2} = 3;$ 4) $(\frac{1}{3})^{5+4x} = 1,5;$

5) $16^x - 4^{x+1} - 14 = 0;$ 6) $25^x + 2 \cdot 5^x - 15 = 0.$

1) $3^{4x} = 10$

Это показательное уравнение. Для его решения прологарифмируем обе части уравнения по основанию 3.

$\log_3(3^{4x}) = \log_3(10)$

Используя свойство логарифма $\log_a(a^b) = b$, получаем:

$4x = \log_3(10)$

Теперь разделим обе части на 4, чтобы найти $x$:

$x = \frac{\log_3(10)}{4}$

Ответ: $x = \frac{\log_3(10)}{4}$

2) $2^{3x} = 3$

Это показательное уравнение. Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 2.

$\log_2(2^{3x}) = \log_2(3)$

Применяя свойство логарифма $\log_a(a^b) = b$, имеем:

$3x = \log_2(3)$

Разделим обе части на 3, чтобы выразить $x$:

$x = \frac{\log_2(3)}{3}$

Ответ: $x = \frac{\log_2(3)}{3}$

3) $1,3^{3x-2} = 3$

Данное показательное уравнение решается логарифмированием обеих частей по основанию 1,3.

$\log_{1,3}(1,3^{3x-2}) = \log_{1,3}(3)$

Используя свойство логарифма $\log_a(a^b) = b$, получаем:

$3x - 2 = \log_{1,3}(3)$

Далее решаем полученное линейное уравнение относительно $x$. Сначала перенесем -2 в правую часть:

$3x = 2 + \log_{1,3}(3)$

Разделим обе части на 3:

$x = \frac{2 + \log_{1,3}(3)}{3}$

Ответ: $x = \frac{2 + \log_{1,3}(3)}{3}$

4) $(\frac{1}{3})^{5+4x} = 1,5$

Преобразуем уравнение. Заметим, что $\frac{1}{3} = 3^{-1}$ и $1,5 = \frac{3}{2}$.

$(3^{-1})^{5+4x} = \frac{3}{2}$

$3^{-(5+4x)} = \frac{3}{2}$

$3^{-5-4x} = \frac{3}{2}$

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 3.

$\log_3(3^{-5-4x}) = \log_3(\frac{3}{2})$

В левой части используем свойство $\log_a(a^b) = b$, а в правой части свойство логарифма частного $\log_a(\frac{b}{c}) = \log_a(b) - \log_a(c)$:

$-5 - 4x = \log_3(3) - \log_3(2)$

$-5 - 4x = 1 - \log_3(2)$

Теперь решим это линейное уравнение относительно $x$.

$-4x = 5 + 1 - \log_3(2)$

$-4x = 6 - \log_3(2)$

Умножим обе части на -1:

$4x = \log_3(2) - 6$

$x = \frac{\log_3(2) - 6}{4}$

Ответ: $x = \frac{\log_3(2) - 6}{4}$

5) $16^x - 4^{x+1} - 14 = 0$

Приведем все степени к одному основанию 4. Заметим, что $16 = 4^2$ и $4^{x+1} = 4^x \cdot 4^1$.

$(4^2)^x - 4 \cdot 4^x - 14 = 0$

$(4^x)^2 - 4 \cdot 4^x - 14 = 0$

Это уравнение является квадратным относительно $4^x$. Сделаем замену переменной. Пусть $y = 4^x$. Так как показательная функция всегда положительна, $y > 0$.

Получаем квадратное уравнение: $y^2 - 4y - 14 = 0$.

Решим его с помощью формулы для корней квадратного уравнения. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 16 + 56 = 72$.

Корни уравнения:

$y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{72}}{2} = \frac{4 \pm 6\sqrt{2}}{2} = 2 \pm 3\sqrt{2}$.

Получаем два корня для $y$:

$y_1 = 2 + 3\sqrt{2}$

$y_2 = 2 - 3\sqrt{2}$

Проверим условие $y > 0$.

$y_1 = 2 + 3\sqrt{2} > 0$. Этот корень подходит.

$y_2 = 2 - 3\sqrt{2} \approx 2 - 3 \cdot 1,414 = 2 - 4,242 < 0$. Этот корень не удовлетворяет условию $y > 0$, поэтому он является посторонним.

Вернемся к замене $y = 4^x$:

$4^x = 2 + 3\sqrt{2}$

Прологарифмируем обе части по основанию 4:

$x = \log_4(2 + 3\sqrt{2})$

Ответ: $x = \log_4(2 + 3\sqrt{2})$

6) $25^x + 2 \cdot 5^x - 15 = 0$

Приведем все степени к одному основанию 5. Так как $25 = 5^2$, уравнение можно переписать в виде:

$(5^2)^x + 2 \cdot 5^x - 15 = 0$

$(5^x)^2 + 2 \cdot 5^x - 15 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 5^x$. Поскольку $5^x > 0$ для любого $x$, то $t > 0$.

Уравнение принимает вид квадратного: $t^2 + 2t - 15 = 0$.

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета. Сумма корней равна -2, а произведение -15. Легко подобрать корни:

$t_1 = 3$ и $t_2 = -5$.

Проверим условие $t > 0$.

$t_1 = 3 > 0$. Этот корень подходит.

$t_2 = -5 < 0$. Этот корень не подходит.

Возвращаемся к замене $t = 5^x$:

$5^x = 3$

Чтобы найти $x$, прологарифмируем обе части по основанию 5:

$x = \log_5(3)$

Ответ: $x = \log_5(3)$