Номер 907, страница 267 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

907.

1) $3 + 2 \log_{x+1} 3 = 2 \log_3 (x + 1);$

2) $1 + 2 \log_{x+2} 5 = \log_5 (x + 2);$

3) $\log_{1+x} (3 + x) = \log_{3+x} (1 + x);$

4) $\log_{3x+7} (5x + 3) = 2 - \log_{5x+3} (3x + 7).$

1)

Решим уравнение $3 + 2 \log_{x+1} 3 = 2 \log_3 (x+1)$.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Основание логарифма должно быть положительным и не равным единице, а подлогарифмическое выражение — положительным.
Система условий для ОДЗ:
$ \begin{cases} x+1 > 0 \\ x+1 \neq 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > -1 \\ x \neq 0 \end{cases} $
Следовательно, ОДЗ: $x \in (-1, 0) \cup (0, \infty)$.

Воспользуемся формулой перехода к новому основанию: $\log_b a = \frac{1}{\log_a b}$.
Тогда $\log_{x+1} 3 = \frac{1}{\log_3 (x+1)}$.
Уравнение принимает вид: $3 + 2 \cdot \frac{1}{\log_3 (x+1)} = 2 \log_3 (x+1)$.

Сделаем замену переменной. Пусть $y = \log_3 (x+1)$. Заметим, что $y \neq 0$, так как $x \neq 0$.
Уравнение превращается в квадратное относительно $y$:
$3 + \frac{2}{y} = 2y$.
Умножим обе части на $y$:
$3y + 2 = 2y^2$
$2y^2 - 3y - 2 = 0$.

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 = 5^2$.
$y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm 5}{4}$.
$y_1 = \frac{3+5}{4} = 2$
$y_2 = \frac{3-5}{4} = -\frac{1}{2}$.

Вернемся к исходной переменной $x$.
Случай 1: $y_1 = 2$.
$\log_3 (x+1) = 2$
$x+1 = 3^2$
$x+1 = 9$
$x = 8$.

Случай 2: $y_2 = -1/2$.
$\log_3 (x+1) = -\frac{1}{2}$
$x+1 = 3^{-1/2}$
$x+1 = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$
$x = \frac{\sqrt{3}}{3} - 1$.

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ $x \in (-1, 0) \cup (0, \infty)$.
Корень $x=8$ входит в ОДЗ.
Корень $x = \frac{\sqrt{3}}{3} - 1 \approx 0.577 - 1 = -0.423$. Этот корень также входит в ОДЗ, так как $-1 < -0.423 < 0$.
Оба корня являются решениями уравнения.
Ответ: $8; \frac{\sqrt{3}}{3} - 1$.

2)

Решим уравнение $1 + 2 \log_{x+2} 5 = \log_5 (x+2)$.
ОДЗ:
$ \begin{cases} x+2 > 0 \\ x+2 \neq 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > -2 \\ x \neq -1 \end{cases} $
ОДЗ: $x \in (-2, -1) \cup (-1, \infty)$.

Используем формулу $\log_b a = \frac{1}{\log_a b}$:
$\log_{x+2} 5 = \frac{1}{\log_5 (x+2)}$.
Уравнение принимает вид:
$1 + \frac{2}{\log_5 (x+2)} = \log_5 (x+2)$.

Пусть $y = \log_5 (x+2)$. Заметим, что $y \neq 0$, так как $x \neq -1$.
Получаем уравнение:
$1 + \frac{2}{y} = y$
Умножим на $y$:
$y + 2 = y^2$
$y^2 - y - 2 = 0$.

Решим квадратное уравнение по теореме Виета:
$y_1 + y_2 = 1$
$y_1 \cdot y_2 = -2$
Корни: $y_1 = 2$ и $y_2 = -1$.

Вернемся к переменной $x$.
Случай 1: $y_1 = 2$.
$\log_5 (x+2) = 2$
$x+2 = 5^2$
$x+2 = 25$
$x = 23$.

Случай 2: $y_2 = -1$.
$\log_5 (x+2) = -1$
$x+2 = 5^{-1}$
$x+2 = \frac{1}{5}$
$x = \frac{1}{5} - 2 = -\frac{9}{5}$.

Проверим корни по ОДЗ $x \in (-2, -1) \cup (-1, \infty)$.
Корень $x=23$ входит в ОДЗ.
Корень $x = -9/5 = -1.8$. Этот корень также входит в ОДЗ, так как $-2 < -1.8 < -1$.
Оба корня являются решениями.
Ответ: $23; -\frac{9}{5}$.

3)

Решим уравнение $\log_{1+x} (3+x) = \log_{3+x} (1+x)$.
ОДЗ:
$ \begin{cases} 1+x > 0 \\ 1+x \neq 1 \\ 3+x > 0 \\ 3+x \neq 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > -1 \\ x \neq 0 \\ x > -3 \\ x \neq -2 \end{cases} $
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \in (-1, 0) \cup (0, \infty)$.

Используем формулу $\log_b a = \frac{1}{\log_a b}$:
$\log_{3+x} (1+x) = \frac{1}{\log_{1+x} (3+x)}$.
Уравнение принимает вид:
$\log_{1+x} (3+x) = \frac{1}{\log_{1+x} (3+x)}$.

Пусть $y = \log_{1+x} (3+x)$. Тогда уравнение становится:
$y = \frac{1}{y}$
$y^2 = 1$
$y = 1$ или $y = -1$.

Вернемся к переменной $x$.
Случай 1: $y=1$.
$\log_{1+x} (3+x) = 1$
$3+x = 1+x$
$3=1$, что неверно. В этом случае решений нет.

Случай 2: $y=-1$.
$\log_{1+x} (3+x) = -1$
$3+x = (1+x)^{-1}$
$3+x = \frac{1}{1+x}$
$(3+x)(1+x) = 1$
$x^2 + 4x + 3 = 1$
$x^2 + 4x + 2 = 0$.

Решим квадратное уравнение:
$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 16 - 8 = 8$.
$x_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{2}}{2} = -2 \pm \sqrt{2}$.
$x_1 = -2 + \sqrt{2}$
$x_2 = -2 - \sqrt{2}$.

Проверим корни по ОДЗ $x \in (-1, 0) \cup (0, \infty)$.
$x_1 = -2 + \sqrt{2} \approx -2 + 1.414 = -0.586$. Этот корень входит в ОДЗ.
$x_2 = -2 - \sqrt{2} \approx -2 - 1.414 = -3.414$. Этот корень не входит в ОДЗ.
Единственное решение — $x = -2 + \sqrt{2}$.
Ответ: $-2 + \sqrt{2}$.

4)

Решим уравнение $\log_{3x+7} (5x+3) = 2 - \log_{5x+3} (3x+7)$.
ОДЗ:
$ \begin{cases} 3x+7 > 0 \\ 3x+7 \neq 1 \\ 5x+3 > 0 \\ 5x+3 \neq 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > -7/3 \\ x \neq -2 \\ x > -3/5 \\ x \neq -2/5 \end{cases} $
Объединяя условия (самое сильное $x > -3/5$), получаем ОДЗ: $x \in (-3/5, -2/5) \cup (-2/5, \infty)$.

Используем формулу $\log_b a = \frac{1}{\log_a b}$:
$\log_{5x+3} (3x+7) = \frac{1}{\log_{3x+7} (5x+3)}$.
Пусть $y = \log_{3x+7} (5x+3)$. Заметим, что $y \neq 0$, так как $x \neq -2/5$.
Уравнение принимает вид:
$y = 2 - \frac{1}{y}$.

Умножим обе части на $y$:
$y^2 = 2y - 1$
$y^2 - 2y + 1 = 0$
$(y-1)^2 = 0$
$y = 1$.

Вернемся к переменной $x$.
$\log_{3x+7} (5x+3) = 1$
По определению логарифма, основание равно подлогарифмическому выражению:
$5x+3 = 3x+7$
$2x = 4$
$x=2$.

Проверим корень по ОДЗ $x \in (-3/5, -2/5) \cup (-2/5, \infty)$.
$x=2$ входит в ОДЗ, так как $2 > -2/5$.
Корень является решением.
Ответ: $2$.