Номер 902, страница 266 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

902. 1) $\log_3 (2 - x^2) - \log_3 (-x) = 0;$

2) $\log_5 (x^2 - 12) - \log_5 (-x) = 0;$

3) $\log_2 \sqrt{x - 3} + \log_2 \sqrt{3x - 7} = 2;$

4) $\lg (x + 6) - \lg \sqrt{2x - 3} = \lg 4.$

1) $ \log_{3}(2 - x^2) - \log_{3}(-x) = 0 $
Первым шагом найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:
$ \begin{cases} 2 - x^2 > 0 \\ -x > 0 \end{cases} $
Решим систему неравенств:
$ \begin{cases} x^2 < 2 \\ x < 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} -\sqrt{2} < x < \sqrt{2} \\ x < 0 \end{cases} $
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $ -\sqrt{2} < x < 0 $.
Теперь решим само уравнение. Перенесем второй логарифм в правую часть:
$ \log_{3}(2 - x^2) = \log_{3}(-x) $
Так как основания логарифмов одинаковы, мы можем приравнять их аргументы:
$ 2 - x^2 = -x $
$ x^2 - x - 2 = 0 $
Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 $.
Корни уравнения:
$ x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 3}{2} = 2 $
$ x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 3}{2} = -1 $
Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($ -\sqrt{2} < x < 0 $).
Корень $ x_1 = 2 $ не принадлежит ОДЗ.
Корень $ x_2 = -1 $ принадлежит ОДЗ, так как $ -\sqrt{2} \approx -1.414 $ и $ -1.414 < -1 < 0 $.
Следовательно, у уравнения есть только один корень.
Ответ: $ -1 $

2) $ \log_{5}(x^2 - 12) - \log_{5}(-x) = 0 $
Найдем область допустимых значений (ОДЗ):
$ \begin{cases} x^2 - 12 > 0 \\ -x > 0 \end{cases} $
Решим систему неравенств:
$ \begin{cases} x^2 > 12 \\ x < 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x < -\sqrt{12} \text{ или } x > \sqrt{12} \\ x < 0 \end{cases} $
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $ x < -\sqrt{12} $ (так как $ \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \approx 3.46 $).
Перенесем второй логарифм в правую часть уравнения:
$ \log_{5}(x^2 - 12) = \log_{5}(-x) $
Приравняем аргументы логарифмов:
$ x^2 - 12 = -x $
$ x^2 + x - 12 = 0 $
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета: $ x_1 + x_2 = -1 $, $ x_1 \cdot x_2 = -12 $. Корни $ x_1 = -4 $ и $ x_2 = 3 $.
Проверим корни на соответствие ОДЗ ($ x < -\sqrt{12} \approx -3.46 $).
Корень $ x_1 = -4 $ принадлежит ОДЗ, так как $ -4 < -3.46 $.
Корень $ x_2 = 3 $ не принадлежит ОДЗ.
Таким образом, решением является только один корень.
Ответ: $ -4 $

3) $ \log_{2}\sqrt{x-3} + \log_{2}\sqrt{3x-7} = 2 $
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под логарифмами должны быть строго положительны:
$ \begin{cases} \sqrt{x-3} > 0 \\ \sqrt{3x-7} > 0 \end{cases} $
Это эквивалентно системе:
$ \begin{cases} x-3 > 0 \\ 3x-7 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 3 \\ x > 7/3 \end{cases} $
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $ x > 3 $.
Используем свойство суммы логарифмов $ \log_a b + \log_a c = \log_a (bc) $:
$ \log_{2}(\sqrt{x-3} \cdot \sqrt{3x-7}) = 2 $
$ \log_{2}(\sqrt{(x-3)(3x-7)}) = 2 $
По определению логарифма:
$ \sqrt{(x-3)(3x-7)} = 2^2 $
$ \sqrt{(x-3)(3x-7)} = 4 $
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$ (x-3)(3x-7) = 16 $
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$ 3x^2 - 7x - 9x + 21 = 16 $
$ 3x^2 - 16x + 5 = 0 $
Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант:
$ D = (-16)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 5 = 256 - 60 = 196 = 14^2 $
$ x_1 = \frac{16 + 14}{2 \cdot 3} = \frac{30}{6} = 5 $
$ x_2 = \frac{16 - 14}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $
Проверим корни на соответствие ОДЗ ($ x > 3 $).
Корень $ x_1 = 5 $ принадлежит ОДЗ.
Корень $ x_2 = 1/3 $ не принадлежит ОДЗ.
Следовательно, решением является только $ x=5 $.
Ответ: $ 5 $

4) $ \lg(x+6) - \lg\sqrt{2x-3} = \lg 4 $
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы десятичных логарифмов ($ \lg $) должны быть положительными:
$ \begin{cases} x+6 > 0 \\ \sqrt{2x-3} > 0 \end{cases} $
Решим систему:
$ \begin{cases} x > -6 \\ 2x-3 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > -6 \\ x > 3/2 \end{cases} $
Объединяя, получаем ОДЗ: $ x > 1.5 $.
Используем свойство разности логарифмов $ \log_a b - \log_a c = \log_a (b/c) $:
$ \lg\left(\frac{x+6}{\sqrt{2x-3}}\right) = \lg 4 $
Приравняем аргументы логарифмов:
$ \frac{x+6}{\sqrt{2x-3}} = 4 $
$ x+6 = 4\sqrt{2x-3} $
Возведем обе части в квадрат. Условие $ x+6 \ge 0 $ ($ x \ge -6 $) уже учтено в ОДЗ.
$ (x+6)^2 = (4\sqrt{2x-3})^2 $
$ x^2 + 12x + 36 = 16(2x-3) $
$ x^2 + 12x + 36 = 32x - 48 $
$ x^2 - 20x + 84 = 0 $
Решим квадратное уравнение по теореме Виета: $ x_1 + x_2 = 20 $, $ x_1 \cdot x_2 = 84 $. Корни $ x_1 = 6 $ и $ x_2 = 14 $.
Проверим оба корня на соответствие ОДЗ ($ x > 1.5 $).
Корень $ x_1 = 6 $ принадлежит ОДЗ.
Корень $ x_2 = 14 $ принадлежит ОДЗ.
Оба корня подходят.
Ответ: $ 6; 14 $