Номер 909, страница 267 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

909. 1) $\log_{3-x} \frac{4-x}{5-x} \leq 1;$

2) $\log_{2x} (x^2 - 5x + 6) < 1.$

1) $\log_{3-x} \frac{4-x}{5-x} \le 1$

Это логарифмическое неравенство с переменным основанием. Для его решения необходимо рассмотреть два случая в зависимости от значения основания, предварительно найдя область допустимых значений (ОДЗ).

Найдем ОДЗ:

1. Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $\frac{4-x}{5-x} > 0$. Решая методом интервалов, находим, что это выполняется при $x \in (-\infty, 4) \cup (5, \infty)$.
2. Основание логарифма должно быть строго положительным: $3-x > 0 \implies x < 3$.
3. Основание логарифма не должно быть равно единице: $3-x \ne 1 \implies x \ne 2$.

Пересекая все эти условия, получаем ОДЗ: $x \in (-\infty, 2) \cup (2, 3)$.

Теперь рассмотрим два случая.

Случай 1: Основание больше 1.

$3-x > 1 \implies x < 2$. С учетом ОДЗ, рассматриваем интервал $x \in (-\infty, 2)$.

На этом интервале знак неравенства сохраняется при потенцировании:

$\frac{4-x}{5-x} \le 3-x$

$\frac{4-x}{5-x} - (3-x) \le 0$

$\frac{4-x - (3-x)(5-x)}{5-x} \le 0$

$\frac{4-x - (15 - 3x - 5x + x^2)}{5-x} \le 0$

$\frac{4-x - 15 + 8x - x^2}{5-x} \le 0$

$\frac{-x^2 + 7x - 11}{5-x} \le 0$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства:

$\frac{x^2 - 7x + 11}{5-x} \ge 0$

Найдем корни числителя $x^2 - 7x + 11 = 0$. Дискриминант $D = 49 - 4(11) = 5$. Корни $x_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{5}}{2}$.

Корень знаменателя $x=5$. Решая неравенство $\frac{(x - \frac{7-\sqrt{5}}{2})(x - \frac{7+\sqrt{5}}{2})}{5-x} \ge 0$ методом интервалов, получаем $x \in (-\infty, \frac{7-\sqrt{5}}{2}] \cup [\frac{7+\sqrt{5}}{2}, 5)$.

Теперь найдем пересечение этого решения с условием данного случая $x \in (-\infty, 2)$.

Оценим значение $\frac{7-\sqrt{5}}{2}$. Поскольку $2 < \sqrt{5} < 3$, то $4 < 7-\sqrt{5} < 5$, и, следовательно, $2 < \frac{7-\sqrt{5}}{2} < 2.5$.

Таким образом, интервал $(-\infty, 2)$ полностью входит в промежуток $(-\infty, \frac{7-\sqrt{5}}{2}]$.

Решение для первого случая: $x \in (-\infty, 2)$.

Случай 2: Основание находится в интервале от 0 до 1.

$0 < 3-x < 1 \implies 2 < x < 3$. С учетом ОДЗ, рассматриваем интервал $x \in (2, 3)$.

На этом интервале знак неравенства меняется на противоположный при потенцировании:

$\frac{4-x}{5-x} \ge 3-x$

$\frac{-x^2 + 7x - 11}{5-x} \ge 0$

$\frac{x^2 - 7x + 11}{5-x} \le 0$

Используя найденные ранее корни, решаем это неравенство методом интервалов: $x \in [\frac{7-\sqrt{5}}{2}, \frac{7+\sqrt{5}}{2}] \cup (5, \infty)$.

Найдем пересечение этого решения с условием данного случая $x \in (2, 3)$.

Так как $2 < \frac{7-\sqrt{5}}{2} < 3$ и $\frac{7+\sqrt{5}}{2} > 3$, пересечением будет промежуток $[\frac{7-\sqrt{5}}{2}, 3)$.

Решение для второго случая: $x \in [\frac{7-\sqrt{5}}{2}, 3)$.

Объединяя решения обоих случаев, получаем окончательный ответ.

Ответ: $x \in (-\infty, 2) \cup [\frac{7-\sqrt{5}}{2}, 3)$.

2) $\log_{2x} (x^2 - 5x + 6) < 1$

Это логарифмическое неравенство с переменным основанием. Найдем ОДЗ:

1. Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $x^2 - 5x + 6 > 0$. Корни квадратного трехчлена $x_1=2, x_2=3$. Неравенство выполняется при $x \in (-\infty, 2) \cup (3, \infty)$.
2. Основание логарифма должно быть строго положительным: $2x > 0 \implies x > 0$.
3. Основание логарифма не должно быть равно единице: $2x \ne 1 \implies x \ne 1/2$.

Пересекая все условия, получаем ОДЗ: $x \in (0, 1/2) \cup (1/2, 2) \cup (3, \infty)$.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: Основание больше 1.

$2x > 1 \implies x > 1/2$. С учетом ОДЗ, рассматриваем $x \in (1/2, 2) \cup (3, \infty)$.

Знак неравенства при потенцировании сохраняется:

$x^2 - 5x + 6 < 2x$

$x^2 - 7x + 6 < 0$

Корни уравнения $x^2 - 7x + 6 = 0$ равны $x_1=1, x_2=6$. Неравенство выполняется для $x \in (1, 6)$.

Найдем пересечение этого решения с условием случая $x \in (1/2, 2) \cup (3, \infty)$.

Пересечение $(1, 6)$ и $((1/2, 2) \cup (3, \infty))$ дает $x \in (1, 2) \cup (3, 6)$.

Случай 2: Основание находится в интервале от 0 до 1.

$0 < 2x < 1 \implies 0 < x < 1/2$. С учетом ОДЗ, рассматриваем $x \in (0, 1/2)$.

Знак неравенства меняется на противоположный:

$x^2 - 5x + 6 > 2x$

$x^2 - 7x + 6 > 0$

Решением этого неравенства является $x \in (-\infty, 1) \cup (6, \infty)$.

Найдем пересечение этого решения с условием случая $x \in (0, 1/2)$.

Пересечение $(0, 1/2)$ и $((-\infty, 1) \cup (6, \infty))$ дает $x \in (0, 1/2)$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем итоговый ответ.

Ответ: $x \in (0, 1/2) \cup (1, 2) \cup (3, 6)$.