Номер 905, страница 266 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

905. Решить неравенство:

1) $\log_{\sqrt{6}} (x - 4) + \log_{\sqrt{6}} (x + 1) \le 2;$

2) $\log_{3\sqrt{2}} (x - 5) + \log_{3\sqrt{2}} (x + 12) \le 2;$

3) $\log_3 (8x^2 + x) > 2 + \log_3 x^2 + \log_3 x;$

4) $\log_2 x + \log_2 (x - 3) > \log_2 4;$

5) $\log_{\frac{1}{5}} (x - 10) - \log_{\frac{1}{5}} (x + 2) \ge -1;$

6) $\log_{\frac{1}{\sqrt{7}}} (x + 10) + \log_{\frac{1}{\sqrt{7}}} (x + 4) > -2.$

1) $\log_{\sqrt{6}} (x-4) + \log_{\sqrt{6}} (x+1) \le 2$

Первым шагом найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:
$\begin{cases} x-4 > 0 \\ x+1 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 4 \\ x > -1 \end{cases} \implies x > 4$.
Таким образом, ОДЗ: $x \in (4; +\infty)$.
Используем свойство суммы логарифмов: $\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$.
$\log_{\sqrt{6}} ((x-4)(x+1)) \le 2$.
Представим правую часть неравенства в виде логарифма с тем же основанием: $2 = \log_{\sqrt{6}} (\sqrt{6})^2 = \log_{\sqrt{6}} 6$.
$\log_{\sqrt{6}} (x^2 + x - 4x - 4) \le \log_{\sqrt{6}} 6$.
$\log_{\sqrt{6}} (x^2 - 3x - 4) \le \log_{\sqrt{6}} 6$.
Так как основание логарифма $\sqrt{6} > 1$, функция логарифма возрастающая, поэтому при переходе к подлогарифмическим выражениям знак неравенства сохраняется:
$x^2 - 3x - 4 \le 6$.
$x^2 - 3x - 10 \le 0$.
Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 3x - 10 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 5$ и $x_2 = -2$.
Решением неравенства $x^2 - 3x - 10 \le 0$ является промежуток $[-2; 5]$.
Теперь найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:
$x \in [-2; 5] \cap (4; +\infty) \implies x \in (4; 5]$.
Ответ: $(4; 5]$.

2) $\log_{3\sqrt{2}} (x-5) + \log_{3\sqrt{2}} (x+12) \le 2$

Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} x-5 > 0 \\ x+12 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 5 \\ x > -12 \end{cases} \implies x > 5$.
ОДЗ: $x \in (5; +\infty)$.
Применим свойство суммы логарифмов:
$\log_{3\sqrt{2}} ((x-5)(x+12)) \le 2$.
Представим $2$ как логарифм по основанию $3\sqrt{2}$: $2 = \log_{3\sqrt{2}} (3\sqrt{2})^2 = \log_{3\sqrt{2}} (9 \cdot 2) = \log_{3\sqrt{2}} 18$.
$\log_{3\sqrt{2}} (x^2 + 12x - 5x - 60) \le \log_{3\sqrt{2}} 18$.
$\log_{3\sqrt{2}} (x^2 + 7x - 60) \le \log_{3\sqrt{2}} 18$.
Основание логарифма $3\sqrt{2} = \sqrt{18} > 1$, поэтому знак неравенства сохраняется:
$x^2 + 7x - 60 \le 18$.
$x^2 + 7x - 78 \le 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 + 7x - 78 = 0$. Дискриминант $D = 7^2 - 4(1)(-78) = 49 + 312 = 361 = 19^2$.
$x_1 = \frac{-7-19}{2} = -13$, $x_2 = \frac{-7+19}{2} = 6$.
Решение неравенства: $x \in [-13; 6]$.
Пересекаем с ОДЗ: $x \in [-13; 6] \cap (5; +\infty) \implies x \in (5; 6]$.
Ответ: $(5; 6]$.

3) $\log_3 (8x^2 + x) > 2 + \log_3 x^2 + \log_3 x$

Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} 8x^2 + x > 0 \\ x^2 > 0 \\ x > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x(8x+1) > 0 \\ x \ne 0 \\ x > 0 \end{cases}$. Из $x>0$ следует, что $x \ne 0$ и $8x+1>0$. Таким образом, ОДЗ: $x > 0$.
Преобразуем неравенство, перенеся все логарифмы в одну сторону и представив $2$ как логарифм:
$\log_3 (8x^2 + x) > \log_3 (3^2) + \log_3 x^2 + \log_3 x$.
Используем свойства логарифмов:
$\log_3 (8x^2 + x) > \log_3 (9 \cdot x^2 \cdot x)$.
$\log_3 (8x^2 + x) > \log_3 (9x^3)$.
Основание $3 > 1$, поэтому знак неравенства сохраняется:
$8x^2 + x > 9x^3$.
$9x^3 - 8x^2 - x < 0$.
Вынесем $x$ за скобки: $x(9x^2 - 8x - 1) < 0$.
Так как по ОДЗ $x > 0$, мы можем разделить обе части на $x$ без изменения знака:
$9x^2 - 8x - 1 < 0$.
Найдем корни уравнения $9x^2 - 8x - 1 = 0$. Дискриминант $D = (-8)^2 - 4(9)(-1) = 64 + 36 = 100 = 10^2$.
$x_1 = \frac{8-10}{18} = -\frac{1}{9}$, $x_2 = \frac{8+10}{18} = 1$.
Решение неравенства: $x \in (-\frac{1}{9}; 1)$.
Пересекаем с ОДЗ: $x \in (-\frac{1}{9}; 1) \cap (0; +\infty) \implies x \in (0; 1)$.
Ответ: $(0; 1)$.

4) $\log_2 x + \log_2 (x-3) > \log_2 4$

Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} x > 0 \\ x-3 > 0 \end{cases} \implies x > 3$.
ОДЗ: $x \in (3; +\infty)$.
Преобразуем левую часть:
$\log_2(x(x-3)) > \log_2 4$.
Основание $2 > 1$, знак неравенства сохраняется:
$x(x-3) > 4$.
$x^2 - 3x - 4 > 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - 3x - 4 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = 4$, $x_2 = -1$.
Решение неравенства $x^2 - 3x - 4 > 0$ - это объединение интервалов $(-\infty; -1) \cup (4; +\infty)$.
Пересекаем с ОДЗ: $x \in ((-\infty; -1) \cup (4; +\infty)) \cap (3; +\infty) \implies x \in (4; +\infty)$.
Ответ: $(4; +\infty)$.

5) $\log_{\frac{1}{5}} (x-10) - \log_{\frac{1}{5}} (x+2) \ge -1$

Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} x-10 > 0 \\ x+2 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 10 \\ x > -2 \end{cases} \implies x > 10$.
ОДЗ: $x \in (10; +\infty)$.
Используем свойство разности логарифмов:
$\log_{\frac{1}{5}} \left(\frac{x-10}{x+2}\right) \ge -1$.
Представим $-1$ как логарифм по основанию $\frac{1}{5}$: $-1 = \log_{\frac{1}{5}} \left(\left(\frac{1}{5}\right)^{-1}\right) = \log_{\frac{1}{5}} 5$.
$\log_{\frac{1}{5}} \left(\frac{x-10}{x+2}\right) \ge \log_{\frac{1}{5}} 5$.
Так как основание логарифма $\frac{1}{5} \in (0; 1)$, функция убывающая, поэтому знак неравенства меняется на противоположный:
$\frac{x-10}{x+2} \le 5$.
$\frac{x-10}{x+2} - 5 \le 0$.
$\frac{x-10 - 5(x+2)}{x+2} \le 0$.
$\frac{x-10 - 5x - 10}{x+2} \le 0$.
$\frac{-4x - 20}{x+2} \le 0$.
Разделим на $-4$, меняя знак неравенства:
$\frac{x+5}{x+2} \ge 0$.
Решим методом интервалов. Нули числителя и знаменателя: $x=-5$ и $x=-2$.
Решение этого неравенства: $x \in (-\infty; -5] \cup (-2; +\infty)$.
Пересекаем с ОДЗ: $x \in ((-\infty; -5] \cup (-2; +\infty)) \cap (10; +\infty) \implies x \in (10; +\infty)$.
Ответ: $(10; +\infty)$.

6) $\log_{\frac{1}{\sqrt{7}}} (x+10) + \log_{\frac{1}{\sqrt{7}}} (x+4) > -2$

Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} x+10 > 0 \\ x+4 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -10 \\ x > -4 \end{cases} \implies x > -4$.
ОДЗ: $x \in (-4; +\infty)$.
Применим свойство суммы логарифмов:
$\log_{\frac{1}{\sqrt{7}}} ((x+10)(x+4)) > -2$.
Представим $-2$ как логарифм: $-2 = \log_{\frac{1}{\sqrt{7}}} \left(\left(\frac{1}{\sqrt{7}}\right)^{-2}\right) = \log_{\frac{1}{\sqrt{7}}} ((\sqrt{7})^2) = \log_{\frac{1}{\sqrt{7}}} 7$.
$\log_{\frac{1}{\sqrt{7}}} (x^2 + 14x + 40) > \log_{\frac{1}{\sqrt{7}}} 7$.
Основание $\frac{1}{\sqrt{7}} \in (0; 1)$, поэтому знак неравенства меняется:
$x^2 + 14x + 40 < 7$.
$x^2 + 14x + 33 < 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 + 14x + 33 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = -11$, $x_2 = -3$.
Решение неравенства: $x \in (-11; -3)$.
Пересекаем с ОДЗ: $x \in (-11; -3) \cap (-4; +\infty) \implies x \in (-4; -3)$.
Ответ: $(-4; -3)$.