Номер 901, страница 266 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

901. 1) $\log_3 x + \log_9 x + \log_{27} x = \frac{11}{12}$;

2) $\log_3 x + \log_{\sqrt{3}} x + \log_{\frac{1}{3}} x = 6$;

3) $\log_3 x \cdot \log_2 x = 4 \log_3 2$;

4) $\log_5 x \cdot \log_3 x = 9 \log_5 3$.

1) $\log_3 x + \log_9 x + \log_{27} x = \frac{11}{12}$

Область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения: $x > 0$.

Для решения приведем все логарифмы к одному основанию 3, используя формулу перехода к новому основанию $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$.

$\log_9 x = \log_{3^2} x = \frac{1}{2} \log_3 x$

$\log_{27} x = \log_{3^3} x = \frac{1}{3} \log_3 x$

Подставим полученные выражения в исходное уравнение:

$\log_3 x + \frac{1}{2} \log_3 x + \frac{1}{3} \log_3 x = \frac{11}{12}$

Вынесем $\log_3 x$ за скобки:

$\log_3 x (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3}) = \frac{11}{12}$

$\log_3 x (\frac{6+3+2}{6}) = \frac{11}{12}$

$\log_3 x \cdot \frac{11}{6} = \frac{11}{12}$

Разделим обе части уравнения на $\frac{11}{6}$:

$\log_3 x = \frac{11}{12} \cdot \frac{6}{11}$

$\log_3 x = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

Теперь найдем $x$ по определению логарифма:

$x = 3^{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}$

Корень $x = \sqrt{3}$ удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $\sqrt{3}$.

2) $\log_3 x + \log_{\sqrt{3}} x + \log_{\frac{1}{3}} x = 6$

ОДЗ: $x > 0$.

Приведем все логарифмы к основанию 3.

$\log_{\sqrt{3}} x = \log_{3^{1/2}} x = \frac{1}{1/2} \log_3 x = 2 \log_3 x$

$\log_{\frac{1}{3}} x = \log_{3^{-1}} x = \frac{1}{-1} \log_3 x = - \log_3 x$

Подставим в исходное уравнение:

$\log_3 x + 2 \log_3 x - \log_3 x = 6$

Приведем подобные слагаемые:

$2 \log_3 x = 6$

$\log_3 x = 3$

По определению логарифма:

$x = 3^3 = 27$

Корень $x = 27$ удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $27$.

3) $\log_3 x \cdot \log_2 x = 4 \log_3 2$

ОДЗ: $x > 0$.

Приведем логарифм $\log_2 x$ к основанию 3 по формуле $\log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b}$:

$\log_2 x = \frac{\log_3 x}{\log_3 2}$

Подставим это выражение в уравнение:

$\log_3 x \cdot \frac{\log_3 x}{\log_3 2} = 4 \log_3 2$

$\frac{(\log_3 x)^2}{\log_3 2} = 4 \log_3 2$

$(\log_3 x)^2 = 4 (\log_3 2)^2$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$\log_3 x = \pm 2 \log_3 2$

Рассмотрим два случая:

1. $\log_3 x = 2 \log_3 2 = \log_3 (2^2) = \log_3 4$. Отсюда $x = 4$.

2. $\log_3 x = -2 \log_3 2 = \log_3 (2^{-2}) = \log_3 \frac{1}{4}$. Отсюда $x = \frac{1}{4}$.

Оба корня $x_1=4$ и $x_2=\frac{1}{4}$ удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $4; \frac{1}{4}$.

4) $\log_5 x \cdot \log_3 x = 9 \log_5 3$

ОДЗ: $x > 0$.

Приведем логарифм $\log_3 x$ к основанию 5:

$\log_3 x = \frac{\log_5 x}{\log_5 3}$

Подставим в исходное уравнение:

$\log_5 x \cdot \frac{\log_5 x}{\log_5 3} = 9 \log_5 3$

$\frac{(\log_5 x)^2}{\log_5 3} = 9 \log_5 3$

$(\log_5 x)^2 = 9 (\log_5 3)^2$

Извлечем квадратный корень:

$\log_5 x = \pm 3 \log_5 3$

Рассмотрим два случая:

1. $\log_5 x = 3 \log_5 3 = \log_5 (3^3) = \log_5 27$. Отсюда $x = 27$.

2. $\log_5 x = -3 \log_5 3 = \log_5 (3^{-3}) = \log_5 \frac{1}{27}$. Отсюда $x = \frac{1}{27}$.

Оба корня $x_1=27$ и $x_2=\frac{1}{27}$ удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $27; \frac{1}{27}$.