Номер 906, страница 266 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

Решить уравнение (906—907).

1) $\log_{\frac{1}{x}} 5 + \log_{\frac{1}{x^2}} 12 + \frac{1}{2}\log_x 3 = 1$;

2) $\frac{1}{2}\log_x 7 - \log_{\frac{1}{\sqrt{x}}} 3 - \log_{x^2} 28 = 1.$

1) $\log_{\frac{1}{x}} 5 + \log_{\frac{1}{x^2}} 12 + \frac{1}{2}\log_x 3 = 1$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Основание логарифма должно быть положительным и не равным единице.
1. Для $\log_{\frac{1}{x}} 5$: основание $\frac{1}{x} > 0 \implies x > 0$ и $\frac{1}{x} \neq 1 \implies x \neq 1$.
2. Для $\log_{\frac{1}{x^2}} 12$: основание $\frac{1}{x^2} > 0 \implies x^2 > 0 \implies x \neq 0$. Также $\frac{1}{x^2} \neq 1 \implies x^2 \neq 1 \implies x \neq \pm 1$.
3. Для $\log_x 3$: основание $x > 0$ и $x \neq 1$.
Объединяя все условия, получаем ОДЗ: $x \in (0, 1) \cup (1, \infty)$.

Теперь приведем все логарифмы к одному основанию $x$, используя формулу перехода к новому основанию и свойство логарифма $\log_{a^k} b = \frac{1}{k}\log_a b$.
$\log_{\frac{1}{x}} 5 = \log_{x^{-1}} 5 = \frac{1}{-1}\log_x 5 = -\log_x 5$.
$\log_{\frac{1}{x^2}} 12 = \log_{x^{-2}} 12 = \frac{1}{-2}\log_x 12 = -\frac{1}{2}\log_x 12$.
Подставим преобразованные выражения в исходное уравнение:
$-\log_x 5 - \frac{1}{2}\log_x 12 + \frac{1}{2}\log_x 3 = 1$.

Умножим обе части уравнения на -2, чтобы избавиться от дробей и знаков "минус":
$2\log_x 5 + \log_x 12 - \log_x 3 = -2$.
Используем свойства логарифмов ($n\log_a b = \log_a b^n$, $\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$, $\log_a b - \log_a c = \log_a(\frac{b}{c})$):
$\log_x (5^2) + \log_x 12 - \log_x 3 = -2$
$\log_x 25 + \log_x 12 - \log_x 3 = -2$
$\log_x \left(\frac{25 \cdot 12}{3}\right) = -2$
$\log_x (25 \cdot 4) = -2$
$\log_x 100 = -2$.

По определению логарифма ($ \log_b a = c \iff b^c=a $), получаем:
$x^{-2} = 100$
$\frac{1}{x^2} = 100$
$x^2 = \frac{1}{100}$
$x = \pm \sqrt{\frac{1}{100}} = \pm \frac{1}{10}$.

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x > 0$ и $x \neq 1$).
Корень $x = \frac{1}{10}$ удовлетворяет ОДЗ.
Корень $x = -\frac{1}{10}$ не удовлетворяет ОДЗ, так как он отрицательный.
Следовательно, решением уравнения является $x = \frac{1}{10}$.
Ответ: $x = \frac{1}{10}$.

2) $\frac{1}{2}\log_x 7 - \log_{\frac{1}{\sqrt{x}}} 3 - \log_{x^2} 28 = 1$

Определим ОДЗ. Основание логарифма должно быть положительным и не равным единице.
1. Для $\log_x 7$: $x > 0$ и $x \neq 1$.
2. Для $\log_{\frac{1}{\sqrt{x}}} 3$: $\frac{1}{\sqrt{x}} > 0 \implies \sqrt{x} > 0 \implies x > 0$. Также $\frac{1}{\sqrt{x}} \neq 1 \implies \sqrt{x} \neq 1 \implies x \neq 1$.
3. Для $\log_{x^2} 28$: $x^2 > 0 \implies x \neq 0$. Также $x^2 \neq 1 \implies x \neq \pm 1$.
Общая ОДЗ: $x > 0$ и $x \neq 1$, то есть $x \in (0, 1) \cup (1, \infty)$.

Приведем все логарифмы к основанию $x$:
$\log_{\frac{1}{\sqrt{x}}} 3 = \log_{x^{-1/2}} 3 = \frac{1}{-1/2}\log_x 3 = -2\log_x 3$.
$\log_{x^2} 28 = \frac{1}{2}\log_x 28$.
Подставим эти выражения в уравнение:
$\frac{1}{2}\log_x 7 - (-2\log_x 3) - \frac{1}{2}\log_x 28 = 1$
$\frac{1}{2}\log_x 7 + 2\log_x 3 - \frac{1}{2}\log_x 28 = 1$.

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дробей:
$\log_x 7 + 4\log_x 3 - \log_x 28 = 2$.
Используем свойства логарифмов:
$\log_x 7 + \log_x (3^4) - \log_x 28 = 2$
$\log_x 7 + \log_x 81 - \log_x 28 = 2$
$\log_x \left(\frac{7 \cdot 81}{28}\right) = 2$
Сократим дробь:
$\log_x \left(\frac{7 \cdot 81}{4 \cdot 7}\right) = 2$
$\log_x \left(\frac{81}{4}\right) = 2$.

По определению логарифма:
$x^2 = \frac{81}{4}$
$x = \pm \sqrt{\frac{81}{4}} = \pm \frac{9}{2}$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x > 0$ и $x \neq 1$).
Корень $x = \frac{9}{2}$ удовлетворяет ОДЗ.
Корень $x = -\frac{9}{2}$ не удовлетворяет ОДЗ.
Следовательно, решением уравнения является $x = \frac{9}{2}$.
Ответ: $x = \frac{9}{2}$.