Номер 911, страница 267 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

911. Доказать, что если последовательность положительных чисел является геометрической прогрессией, то их логарифмы по одному и тому же основанию образуют арифметическую прогрессию.

Пусть дана последовательность положительных чисел $b_1, b_2, b_3, \dots, b_n, \dots$, которая является геометрической прогрессией.

По определению геометрической прогрессии, каждый ее член, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же постоянное число $q$, называемое знаменателем прогрессии. Таким образом, для любого натурального $n$ выполняется равенство $b_{n+1} = b_n \cdot q$. Общий член геометрической прогрессии можно выразить формулой $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. Так как все члены последовательности по условию положительны, то $b_1 > 0$ и $q > 0$.

Рассмотрим новую последовательность $c_1, c_2, c_3, \dots, c_n, \dots$, члены которой являются логарифмами членов последовательности $b_n$ по некоторому основанию $a$ (где $a > 0$ и $a \neq 1$):

$c_n = \log_a b_n$

Для того чтобы доказать, что последовательность $c_n$ является арифметической прогрессией, необходимо показать, что разность между любым ее последующим и предыдущим членом является постоянной величиной. Найдем разность $c_{n+1} - c_n$:

$c_{n+1} - c_n = \log_a b_{n+1} - \log_a b_n$

Используя свойство разности логарифмов ($\log_a x - \log_a y = \log_a \frac{x}{y}$), преобразуем выражение:

$c_{n+1} - c_n = \log_a \left(\frac{b_{n+1}}{b_n}\right)$

Поскольку отношение $\frac{b_{n+1}}{b_n}$ для геометрической прогрессии равно ее знаменателю $q$, подставим это значение в формулу:

$c_{n+1} - c_n = \log_a q$

Так как основание логарифма $a$ и знаменатель геометрической прогрессии $q$ являются постоянными числами, то и величина $\log_a q$ является постоянной.

Мы показали, что разность между любыми двумя последовательными членами последовательности $c_n$ постоянна и равна $d = \log_a q$. Согласно определению, это означает, что последовательность логарифмов $c_n$ является арифметической прогрессией. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Последовательность логарифмов по одному и тому же основанию от членов геометрической прогрессии положительных чисел образует арифметическую прогрессию, разность которой равна логарифму знаменателя исходной геометрической прогрессии.