Номер 917, страница 267 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

917. Решить уравнение $log_2 x \cdot log_2 (x-3) + 1 = log_2 (x^2 - 3x)$.

Данное уравнение: $log_{2}x \cdot log_{2}(x-3) + 1 = log_{2}(x^2 - 3x)$.

1. Определение области допустимых значений (ОДЗ).

Аргументы всех логарифмов в уравнении должны быть строго положительными. Это приводит к системе неравенств: $ \begin{cases} x > 0 \\ x - 3 > 0 \\ x^2 - 3x > 0 \end{cases} $

Решим эту систему:

- Из первого неравенства имеем $x > 0$.

- Из второго неравенства получаем $x > 3$.

- Третье неравенство $x^2 - 3x > 0$ можно переписать как $x(x-3) > 0$. Решением этого неравенства являются интервалы $x \in (-\infty, 0) \cup (3, +\infty)$.

Пересечение всех трех условий ($x > 0$, $x > 3$ и $x \in (-\infty, 0) \cup (3, +\infty)$) дает нам общую область допустимых значений: $x > 3$.

2. Преобразование уравнения.

Воспользуемся свойством логарифма произведения $log_a(bc) = log_a b + log_a c$ для правой части уравнения. Так как в ОДЗ $x>0$ и $x-3>0$, мы можем законно применить это свойство: $log_{2}(x^2 - 3x) = log_{2}(x(x-3)) = log_{2}x + log_{2}(x-3)$.

Теперь подставим это выражение обратно в исходное уравнение: $log_{2}x \cdot log_{2}(x-3) + 1 = log_{2}x + log_{2}(x-3)$.

3. Введение замены переменных.

Для упрощения уравнения введем замену. Пусть $a = log_{2}x$ и $b = log_{2}(x-3)$. Уравнение принимает вид: $a \cdot b + 1 = a + b$.

4. Решение нового уравнения.

Перенесем все члены в левую часть: $ab - a - b + 1 = 0$.

Сгруппируем слагаемые для разложения на множители: $a(b - 1) - (b - 1) = 0$ $(a - 1)(b - 1) = 0$.

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных случая:

- Случай 1: $a - 1 = 0 \implies a = 1$.

- Случай 2: $b - 1 = 0 \implies b = 1$.

5. Обратная замена и нахождение $x$.

Рассмотрим каждый случай:

- В случае 1: $log_{2}x = a = 1$ $x = 2^1$ $x = 2$.

- В случае 2: $log_{2}(x-3) = b = 1$ $x-3 = 2^1$ $x-3 = 2$ $x = 5$.

6. Проверка корней.

Теперь необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные значения ОДЗ ($x > 3$).

- Корень $x=2$ не удовлетворяет условию $x>3$, следовательно, это посторонний корень.

- Корень $x=5$ удовлетворяет условию $x>3$ (так как $5>3$), следовательно, это и есть решение уравнения.

Ответ: 5.