Номер 924, страница 268 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

924. Нормальное атмосферное давление P на высоте h над уровнем моря определяется по формуле $P = P_0 e^{-\frac{\mu g h}{RT}}$, где

$P_0 \approx 760 \text{ мм рт. ст.}$ — нормальное атмосферное давление на уровне моря, $\mu \approx 0,029 \text{ кг/моль}$ — молярная масса воздуха, $R = 8,31 \text{ Дж/моль} \cdot K^\circ$ — универсальная газовая постоянная, $T$ — температура воздуха (в градусах Кельвина), $h$ — высота над уровнем моря (в метрах).

1) Выразить из формулы величину h.

2) Найти высоту h над уровнем моря того места в Москве, где $P = 742 \text{ мм рт. ст.}, t = 27^\circ C$.

1) Выразить из формулы величину h.

Дана барометрическая формула, определяющая давление $P$ на высоте $h$:

$P = P_0 e^{-\frac{\mu gh}{RT}}$

Для того чтобы выразить высоту $h$, выполним следующие преобразования. Сначала разделим обе части уравнения на $P_0$ (давление на уровне моря):

$\frac{P}{P_0} = e^{-\frac{\mu gh}{RT}}$

Далее, чтобы избавиться от экспоненциальной функции, возьмем натуральный логарифм ($\ln$) от обеих частей уравнения:

$\ln\left(\frac{P}{P_0}\right) = \ln\left(e^{-\frac{\mu gh}{RT}}\right)$

Поскольку натуральный логарифм и экспонента являются взаимно обратными функциями ($\ln(e^x) = x$), правая часть уравнения упрощается:

$\ln\left(\frac{P}{P_0}\right) = -\frac{\mu gh}{RT}$

Теперь выразим $h$, умножив обе части на $-\frac{RT}{\mu g}$:

$h = -\frac{RT}{\mu g} \ln\left(\frac{P}{P_0}\right)$

Используя свойство логарифмов $-\ln(a/b) = \ln(b/a)$, можно представить формулу в более удобном виде без знака "минус" перед выражением:

$h = \frac{RT}{\mu g} \ln\left(\frac{P_0}{P}\right)$

Ответ: $h = \frac{RT}{\mu g} \ln\left(\frac{P_0}{P}\right)$

2) Найти высоту h над уровнем моря того места в Москве, где P = 742 мм рт. ст., t = 27 °C.

Для нахождения высоты $h$ воспользуемся формулой, полученной в предыдущем пункте:

$h = \frac{RT}{\mu g} \ln\left(\frac{P_0}{P}\right)$

Сначала подготовим все необходимые данные для подстановки в формулу. Температура дана в градусах Цельсия, а в формуле используется абсолютная температура в Кельвинах. Переведем температуру:

$T(\text{К}) = t(°\text{C}) + 273.15$

Для упрощения расчетов, как это принято во многих задачах, будем использовать приближение $T(\text{К}) \approx t(°\text{C}) + 273$.

$T = 27 + 273 = 300$ К

Используем известные из условия и стандартные физические константы:

$P_0 = 760$ мм рт. ст. (нормальное давление на уровне моря)

$P = 742$ мм рт. ст. (давление в Москве)

$\mu = 0.029$ кг/моль (молярная масса воздуха)

$R = 8.31$ Дж/(моль·К) (универсальная газовая постоянная)

$g \approx 9.8$ м/с² (ускорение свободного падения, стандартное значение)

Теперь подставим все значения в формулу:

$h = \frac{8.31 \cdot 300}{0.029 \cdot 9.8} \ln\left(\frac{760}{742}\right)$

Выполним вычисления по шагам. Сначала рассчитаем множитель перед логарифмом:

$\frac{RT}{\mu g} = \frac{2493}{0.2842} \approx 8771.99$ м

Затем рассчитаем значение натурального логарифма:

$\ln\left(\frac{760}{742}\right) \approx \ln(1.02425876) \approx 0.023971$

Наконец, перемножим полученные значения, чтобы найти высоту $h$:

$h \approx 8771.99 \cdot 0.023971 \approx 210.29$ м

Округляя результат до целого значения, получаем высоту около 210 метров.

Ответ: $h \approx 210$ м