Номер 918, страница 267 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

918. Решить неравенство при различных значениях a:

$\frac{1}{\log_a x - 1} + \frac{1}{\log_a x^2 + 1} < -\frac{3}{2}$

Для решения неравенства$$ \frac{1}{\log_a x - 1} + \frac{1}{\log_a x^2 + 1} < -\frac{3}{2} $$сначала определим его область допустимых значений (ОДЗ).

ОДЗ определяется следующими условиями:
1. Аргумент логарифма должен быть положителен: $x > 0$.
2. Основание логарифма должно быть положительным и не равным единице: $a > 0$ и $a \neq 1$.
3. Знаменатели дробей не должны быть равны нулю.

Используя свойство логарифма $\log_b c^k = k \log_b c$ и условие $x > 0$, преобразуем $\log_a x^2 = 2\log_a x$.
Тогда условия на знаменатели принимают вид:
$\log_a x - 1 \neq 0 \implies \log_a x \neq 1 \implies x \neq a$.
$2\log_a x + 1 \neq 0 \implies \log_a x \neq -\frac{1}{2} \implies x \neq a^{-1/2}$, то есть $x \neq \frac{1}{\sqrt{a}}$.

С учетом этого, исходное неравенство можно переписать так:$$ \frac{1}{\log_a x - 1} + \frac{1}{2\log_a x + 1} < -\frac{3}{2} $$Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_a x$. Неравенство для $t$ будет:$$ \frac{1}{t - 1} + \frac{1}{2t + 1} < -\frac{3}{2} $$с ограничениями из ОДЗ: $t \neq 1$ и $t \neq -1/2$.

Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем к общему знаменателю:$$ \frac{1}{t - 1} + \frac{1}{2t + 1} + \frac{3}{2} < 0 $$$$ \frac{2(2t+1) + 2(t-1) + 3(t-1)(2t+1)}{2(t-1)(2t+1)} < 0 $$$$ \frac{4t+2 + 2t-2 + 3(2t^2-t-1)}{2(t-1)(2t+1)} < 0 $$$$ \frac{6t^2 + 3t - 3}{2(t-1)(2t+1)} < 0 $$$$ \frac{3(2t^2 + t - 1)}{2(t-1)(2t+1)} < 0 $$

Найдем корни числителя $2t^2 + t - 1 = 0$. Через дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 9$, получаем корни $t_1 = \frac{-1+3}{4} = \frac{1}{2}$ и $t_2 = \frac{-1-3}{4} = -1$.
Таким образом, $2t^2 + t - 1 = 2(t - 1/2)(t+1) = (2t-1)(t+1)$. Неравенство принимает вид:$$ \frac{3(2t-1)(t+1)}{2(t-1)(2t+1)} < 0 $$

Решим его методом интервалов. Критические точки (нули числителя и знаменателя): $t = -1$, $t = -1/2$, $t = 1/2$, $t = 1$.
Анализ знаков на интервалах показывает, что неравенство выполняется при $t \in (-1, -1/2) \cup (1/2, 1)$.Это означает, что $t$ должен удовлетворять одному из двух двойных неравенств:$$ -1 < t < -1/2 \quad \text{или} \quad 1/2 < t < 1 $$

Теперь выполним обратную замену $t = \log_a x$ и проанализируем решения для $x$ в зависимости от значения параметра $a$.

При $a > 1$
Логарифмическая функция $y = \log_a x$ является возрастающей, поэтому при потенцировании (переходе от логарифмов к их аргументам) знаки неравенств сохраняются.
1) Из $-1 < \log_a x < -1/2$ следует $a^{-1} < x < a^{-1/2}$, то есть $\frac{1}{a} < x < \frac{1}{\sqrt{a}}$.
2) Из $1/2 < \log_a x < 1$ следует $a^{1/2} < x < a^1$, то есть $\sqrt{a} < x < a$.
Объединяя эти два интервала, получаем решение для данного случая.
Ответ: $x \in \left(\frac{1}{a}, \frac{1}{\sqrt{a}}\right) \cup \left(\sqrt{a}, a\right)$.

При $0 < a < 1$
Логарифмическая функция $y = \log_a x$ является убывающей, поэтому при потенцировании знаки неравенств меняются на противоположные.
1) Из $-1 < \log_a x < -1/2$ следует $a^{-1/2} < x < a^{-1}$, то есть $\frac{1}{\sqrt{a}} < x < \frac{1}{a}$.
2) Из $1/2 < \log_a x < 1$ следует $a^1 < x < a^{1/2}$, то есть $a < x < \sqrt{a}$.
Объединяя эти два интервала, получаем решение для данного случая.
Ответ: $x \in (a, \sqrt{a}) \cup \left(\frac{1}{\sqrt{a}}, \frac{1}{a}\right)$.

При $a \le 0$ или $a = 1$
В этих случаях выражение $\log_a x$ не определено, следовательно, исходное неравенство не имеет решений.
Ответ: решений нет.