Номер 915, страница 267 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

915. $ \log_2 (2^x - 5) - \log_2 (2^x - 2) = 2 - x $

Решим логарифмическое уравнение $log₂(2^x - 5) - log₂(2^x - 2) = 2 - x$.

1. Найдём область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком логарифма должны быть строго положительными: $ \begin{cases} 2^x - 5 > 0 \\ 2^x - 2 > 0 \end{cases} $

Решим эту систему неравенств: $ \begin{cases} 2^x > 5 \\ 2^x > 2 \end{cases} \implies \begin{cases} x > \log₂5 \\ x > \log₂2 \end{cases} \implies \begin{cases} x > \log₂5 \\ x > 1 \end{cases} $

Так как $\log₂5 > \log₂4 = 2$, то условие $x > \log₂5$ является более строгим. Следовательно, ОДЗ: $x > \log₂5$.

2. Преобразуем уравнение. Используем свойство разности логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c}$: $\log₂\left(\frac{2^x - 5}{2^x - 2}\right) = 2 - x$

Теперь воспользуемся определением логарифма: если $\log_a b = c$, то $a^c = b$. $\frac{2^x - 5}{2^x - 2} = 2^{2-x}$

Преобразуем правую часть уравнения, используя свойство степеней $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$: $2^{2-x} = \frac{2^2}{2^x} = \frac{4}{2^x}$

Уравнение принимает вид: $\frac{2^x - 5}{2^x - 2} = \frac{4}{2^x}$

3. Введём замену переменной. Пусть $t = 2^x$. Из ОДЗ мы знаем, что $x > \log₂5$, следовательно $t = 2^x > 2^{\log₂5} = 5$. Таким образом, мы будем искать корни, удовлетворяющие условию $t > 5$.

Подставим $t$ в уравнение: $\frac{t - 5}{t - 2} = \frac{4}{t}$

4. Решим полученное рациональное уравнение. Так как $t > 5$, то $t \neq 0$ и $t \neq 2$, поэтому можно умножить обе части на $t(t-2)$: $t(t-5) = 4(t-2)$ $t^2 - 5t = 4t - 8$ $t^2 - 9t + 8 = 0$

Это квадратное уравнение. Его корни можно найти по теореме Виета: сумма корней равна 9, произведение равно 8. $t_1 = 1$, $t_2 = 8$.

5. Проверим корни на соответствие условию $t>5$. Корень $t_1 = 1$ не удовлетворяет условию $1 > 5$, значит, это посторонний корень. Корень $t_2 = 8$ удовлетворяет условию $8 > 5$.

6. Вернёмся к исходной переменной. $2^x = t_2 = 8$ $2^x = 2^3$ $x = 3$

7. Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ. Мы должны проверить, выполняется ли неравенство $x > \log₂5$ для $x=3$. $3 > \log₂5$. Представим 3 как логарифм по основанию 2: $3 = \log₂2^3 = \log₂8$. Неравенство принимает вид $\log₂8 > \log₂5$. Так как основание логарифма $2 > 1$, а $8 > 5$, то неравенство верно. Корень $x=3$ принадлежит ОДЗ.

Ответ: 3